Question

3．如图，已知，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CE交AB于点，连结OE，AC，且∠P=∠E，∠POE=2∠CAB．
（1）求证：CE⊥AB；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）若BD=2OD，且PB=9，求⊙O的半径长和tan∠P的值．

Answer 1

分析 （1）只要证明∠DOC=∠DOE，利用等腰三角形的三线合一即可证明；
（2）欲证明PC是⊙O的切线，只要证明∠OCP=90°即可；
（3）设⊙O的半径为r，OD=x，则BD=2x，r=3x，易证得Rt△OCD∽Rt△OPC，根据相似三角形的性质得OC²=OD•OP，即（3x）²=x•（3x+9），解出x，即可得圆的半径；同理可得PC²=PD•PO=（PB+BD）•（PB+OB）=162，可计算出PC，然后在Rt△OCP中，根据正切的定义即可得到tan∠P的值．

解答 （1）证明：连接OC，
∴∠COB=2∠CAB，
又∠POE=2∠CAB．
∴∠COD=∠EOD，
又∵OC=OE，
∴∠ODC=∠ODE=90°，
即CE⊥AB；

（2）证明：∵CE⊥AB，∠P=∠E，
∴∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°，
又∠OCD=∠E，
∴∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°，
∴PC是⊙O的切线；

（3）解：设⊙O的半径为r，OD=x，则BD=2x，r=3x，
∵CD⊥OP，OC⊥PC，
∴Rt△OCD∽Rt△OPC，
∴OC²=OD•OP，即（3x）²=x•（3x+9），
解之得x=$\frac{3}{2}$，
∴⊙O的半径r=$\frac{9}{2}$，
同理可得PC²=PD•PO=（PB+BD）•（PB+OB）=162，
∴PC=9 $\sqrt{2}$，
在Rt△OCP中，tan∠P=$\frac{OC}{PC}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会条件出发与直线，灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．