Question

15．如图，在?ABCD中，AB=3，BC=5，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）当AE的长为多少时，四边形CEDF是矩形？请说明理由．
（3）当AE的长是多少时，四边形CEDF是菱形？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）证△CFG≌△EDG，推出FG=EG，根据平行四边形的判定推出即可；
（2）①求出△MBA≌△EDC，推出∠CED=∠AMB=90°，根据矩形的判定推出即可；
②求出△CDE是等边三角形，推出CE=DE，根据菱形的判定推出即可．

解答 解：（1）四边形ABCD是平行四边形，
∴CF∥ED，
∴∠FCD=∠GCD，
又∠CGF=∠EGD．
G是CD的中点，
CG=DG，
在△FCG和△EDG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠FCG=∠EDG}\\{CG=DG}\\{∠CGF=∠DGE}\end{array}\right.$，
∴△CFG≌△EDG（ASA），
∴FG=EG，
∵CG=DG，
∴四边形CEDF是平行四边形；

（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形，

理由是：过A作AM⊥BC于M，
∵∠B=60°，AB=3，
∴BM=1.5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，
∵AE=3.5，
∴DE=1.5=BM，
在△MBA和△EDC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BM=DE}\\{∠B=∠CDA}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△MBA≌△EDC（SAS），
∴∠CED=∠AMB=90°，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是矩形；
②当AE=2时，四边形CEDF是菱形，
理由是：∵AD=5，AE=2，
∴DE=3，
∵CD=3，∠CDE=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE=DE，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是菱形．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．