Question

如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，求EC的长．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,三角形中位线定理,圆周角定理

专题：计算题

分析：由OD⊥AB，根据垂径定理得到AC=BC=

1

2

AB=4，设AO=x，则OC=OD-CD=x-2，在Rt△ACO中根据勾股定理得到x²=4²+（x-2）²，解得x=5，则AE=10，OC=3，再由AE是直径，根据圆周角定理得到∠ABE=90°，利用OC是△ABE的中位线得到BE=2OC=6，然后在Rt△CBE中利用勾股定理可计算出CE．

解答：解：连结BE，如图，
∵OD⊥AB，
∴AC=BC=

1

2

AB=

1

2

×8=4，
设AO=x，则OC=OD-CD=x-2，
在Rt△ACO中，∵AO²=AC²+OC²，
∴x²=4²+（x-2）²，解得 x=5，
∴AE=10，OC=3，
∵AE是直径，
∴∠ABE=90°，
∵OC是△ABE的中位线，
∴BE=2OC=6，
在Rt△CBE中，CE=

CB2+BE2

=

42+62

=2

13

．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、圆周角定理．