Question

18．如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB的中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cos∠ABE的值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}-1}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{5}+1}{4}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 根据三角形内角和定理求出∠A，根据等腰三角形的性质得到点E是线段AC的黄金分割点，根据余弦的概念计算即可．

解答 解：∵AB=AC，∠C=72°，
∴∠A=36°，
∵D是AB的中点，点E在AC上，DE⊥AB，
∴EA=EB，
∴∠ABE=∠A=36°，
∴点E是线段AC的黄金分割点，
∴BE=AE=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$×4=2（$\sqrt{5}$-1），
∴cos∠ABE=$\frac{BD}{BE}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$，
故选：C．

点评 本题考查的是等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定和性质、黄金分割的概念，掌握等腰三角形的性质、熟记黄金比值是解题的关键．