Question

如图，O为△ABC内一点，把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．
（1）四边形DEFG是什么四边形，请说明理由；
（2）若四边形DEFG是矩形，点0所在位置应满足什么条件？说明理由．

Answer 1

分析：（1）可用三角形中位线定理求解，易知DG、EF分别是△ABC和△BOC的中位线，那么DG、EF都平行且相等于

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BC，即DG与EF平行且相等，由此可证得四边形DEFG是平行四边形．
（2）连接OA，则DE∥OA∥GF；若四边形DEFG是矩形，则DG和DE互相垂直；因此OA和BC也互相垂直，由此可判断出O点所处的位置．

解答：解：（1）四边形DEFG是平行四边形．理由如下：
∵D、G分别是AB、AC的中点，
∴DG是△ABC的中位线；
∴DG∥BC，且DG=

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BC；
同理可证：EF∥BC，且EF=

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BC；
∴DG∥EF，且DG=EF；
故四边形DEFG是平行四边形；

（2）O在BC边的高上（且不与点A和垂足重合）理由如下：
连接OA；
∵把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．
∴DE∥OA∥GF，EF∥BC，
∵O点在BC边的高上，
∴AO⊥BC，
∴AO⊥EF，
∵DE∥OA，
∴DE⊥EF，
∴四边形DEFG是矩形．

点评：本题考查的是平行四边形、矩形的判定和性质以及三角形中位线定理的应用．