Question

如图1，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．
（1）试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若连接EF交GA的延长线于H，由（1）中的结论你能判断EH与FH的大小关系吗？并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若BC=AG=24，请直接写出S_△AEF=

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）求出∠EPA=∠EAB=∠AGB=90°，∠PEA=∠BAG，根据AAS推出△EPA≌△AGB，推出EP=AG，同理△FQA≌△AGC，AG=FQ，即可得出答案．
（2）求出∠EPH=∠FQH=90°，根据AAS推出△EPH≌△FQH即可；
（3）根据全等三角形△EPH≌△FQH，△EPA≌△AGB，△FQA≌△AGC，推出S_△FQAS_△AGC，S_△FQH=S_△EPH，S_△EPA=S_△AGB，即可求出S_△AEF=S_△ABC，根据三角形面积公式求出即可．

解答：（1）EP=FQ，
证明：∵∠EAB=90°，EP⊥AG，AG⊥BC，
∴∠EPA=∠EAB=∠AGB=90°，
∴∠PEA+∠EAP=90°，∠EAP+∠BAG=90°，
∴∠PEA=∠BAG，
在△EPA和△AGB中，

∠EPA=∠BGA ∠PEA=∠BAG AE=AB

，
∴△EPA≌△AGB（AAS），
∴EP=AG，
同理△FQA≌△AGC，
则AG=FQ，
∴EP=FQ；

（2）解：EH=FH，
理由是：∵EP⊥AG，FQ⊥AG，
∴∠EPH=∠FQH=90°，
在△EPH和△FQH中，

∠EHP=∠FHQ ∠EPH=∠FQH EP=FQ

，
∴△EPH≌△FQH（AAS），
∴EH=FH；

（3）∵△EPH≌△FQH，△EPA≌△AGB，△FQA≌△AGC，
∴S_△FQAS_△AGC，S_△FQH=S_△EPH，S_△EPA=S_△AGB，
∴S_△AEF=S_△EPA+S_△FQA
=S_△AGB+S_△AGC
=S_△ABC
=

1

2

×BC×AG
=

1

2

×24×24
=288．
故答案为：288．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，全等三角形的面积相等．