题目内容

直线y=- $数学公式$ x+4与x，y轴交于A，B两点，在坐标平面上有一点P，⊙P的半径为6．
（1）求A，B两点坐标．
（2）若点P在直线y=- $数学公式$ x+4上，且与x轴相切，求点P坐标．
（3）若⊙P与x轴和直线y=- $数学公式$ x+4都相切，求点P坐标．

解：（1）当x=0时，y=4，
当y=0时，- $\text{[math]}$ x+4=0，解得x=3．

故A（3，0），B（0，4）；

（2）在y=- $\text{[math]}$ x+4中当y=6时，- $\text{[math]}$ x+4=6，解得：x=- $\text{[math]}$ ，则P的坐标是：（- $\text{[math]}$ ，6）；
在y=- $\text{[math]}$ x+4中当y=-6时，- $\text{[math]}$ x+4=-6，解得：x= $\text{[math]}$ ，则P的坐标是（ $\text{[math]}$ ，-6）；

（3）当P的位置如①时，
连接P与切点E，F，则PE⊥x轴，PF⊥AB，作PG∥x轴，交AB于点G，作GH⊥x轴于H．则PE=PF=GH=6，

在直角△AHG和直角△PFG中， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴AH=GF= $\text{[math]}$ ，
∴OH=AH-OA= $\text{[math]}$ -3= $\text{[math]}$ ，即H的坐标是（- $\text{[math]}$ ，0），
PG= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴OE=OH+EH=OH+PG= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =9，则P的坐标是：（-9，6）；

当P的位置如图②所示时，同①可以得到：AH=GF= $\text{[math]}$ ，PG= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴OH=AH-OA= $\text{[math]}$ -3= $\text{[math]}$ ，
∴OE=PG-OH= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =6，
则P的坐标是（6，6）；

当P的位置如图③时，同①可得：AH= $\text{[math]}$ ，PG= $\text{[math]}$
则OH=OA+AH=3+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，

∴OE=OH-EH=OH-PG= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =0，则P的坐标是（0，-6）；

当P如图④所示时，
AH= $\text{[math]}$ ，GP=HE= $\text{[math]}$ ，
∴OE=OA+AH+HE=3+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =15，
则P的坐标是（15，-6）．
总之，P的坐标是：（-9，6）或（6，6）或（0，-6）或（15，-6）．
分析：（1）已知直线解析式，易求A，B点坐标；
（2）由题意知点P在坐标轴上，说的很模糊，所以要分类讨论，再根据圆的性质及相切的条件，又知道圆的半径，从而求出每种情况的P点坐标；
（3）分P有四种情况，根据勾股定理求得P到选、轴的距离即可求得P的横坐标，则P的坐标可以求得．
点评：本题考查了一次函数与圆的切线的性质，勾股定理的综合应用，正确分情况讨论是关键．