Question

已知一元二次方程x²+px+q+2=0的一根为3．
（1）求q关于p的关系式；
（2）求证：抛物线y=x²+px+q与x轴有两个交点；
（3）设抛物线y=x²+px+q与x轴相交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，且x₁+x₂-5x₁x₂+1=0，求抛物线的解析式．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,根与系数的关系

专题：计算题

分析：（1）由一元二次方程的一根为3，将x=3代入方程得到p与q的关系式；
（2）表示出方程根的判别式，将（1）得出关系式代入，配方后根据完全平方式大于等于0即可得证；
（3）利用根与系数的关系表示出x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，代入已知等式得到关系式，与（1）的关系式联立求出p与q的值，即可确定出抛物线解析式．

解答：（1）解：把x=3代入得3²+3p+q+2=0，
∴q=-3p-11；           
（2）证明：∵一元二次方程x²+px+q=0的判别式△=p²-4q，
由（1）得q=-3p-11，
∴△=p²+4（3p+11）=p²+12p+44=（p+6）²+8＞0，
∴一元二次方程x²+px+q=0有两个不相等的实根，
∴抛物线y=x²+px+q与x轴有两个交点；        
（3）解：∵x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两个根，
∴x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，
∵x₁+x₂-5x₁x₂+1=0，
∴-p-5q+1=0，
由（1）得q=-3p-11，
解得

p=-4 q=1

，
∴抛物线的解析式为y=x²-4x+1．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，根与系数的关系式，以及根的判别式，弄清题意是解本题的关键．