题目内容

如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、C、D在坐标轴上，二次函数y1=ax2+bx+4的图象经过顶点A、C、D，且点D的坐标为（3，0）．
（1）请直接写出点A、B的坐标：A（
 
，
 
）、B（
 
，
 
）；
（2）求a、b的值；
（3）若过A、B两点的直线与y轴相交于点E，P点为抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线与直线AB相交于点F．是否存在点P，使点C、E、P、F构成的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点P的横坐标；若不存在，请说明理由；
（4）又知直线AB与二次函数的图象的另一个交点为G（5，-
28
3
），Q点为抛物线上A、G两点之间的一个动点，当△QAG的面积最大时，直接写出此时点Q的坐标．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）由C、D的坐标可求出菱形的边长，进而确定A、B的坐标．
（2）应用待定系数法求得a、b的值．
（3）设直线AB的解析式为y1=mx+n，用待定系数法求得直线AB的解析式y1=-
4
3
x-
8
3
，从而求得E点的坐标，求得CE的值，设P的坐标（t，-
2
3
t2+
2
3
t+4），则点F的坐标为（t，-
4
3
t-
8
3
），PF=|-
2
3
t2+
2
3
t+4-（-
4
3
t-
8
3
）|=|-
2
3
t2+2t+
20
3
|．由PF∥CE，得出|-
2
3
t2+2t+
20
3
|=
20
3
．然后从两种情况讨论即可求得．
（4）该题的关键点是确定点P的位置，△QAG的面积最大，那么S△QAG=
1
2
AG•h，AG×h中h的值最大，即点Q离直线AG的距离最远，那么点Q为与直线AB平行且与抛物线有且仅有的唯一交点．
解答：解：（1）二次函数y1=ax2+bx+4的图象经过顶点A、C、D，且点D的坐标为（3，0）．
∴C（0，4），
∵D（3，0），
∴OC=4，OD=3，
∴CD=
OC2+OD2
=5；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=BC=5，
∴A（-2，0），B（-5，4）．

（2）把A（-2，0），D（3，0）代入y1=ax2+bx+4，
得
4a-2b+4=0
9a+3b+4=0

解得
a=-
2
3
b=
2
3
.
．

（3）设直线AB的解析式为y1=mx+n，
把A（-2，0）和B（-5，4）代入y1=mx+n，
-2m+n=0
-5m+n=4
，
解得
m=-
4
3
n=-
8
3
，
∴y1=-
4
3
x-
8
3
．
∴点E（0，-
8
3
），
∴CE=
20
3
；
可设点P的坐标（t，-
2
3
t2+
2
3
t+4），则点F的坐标为（t，-
4
3
t-
8
3
），
PF=|-
2
3
t2+
2
3
t+4-（-
4
3
t-
8
3
）|=|-
2
3
t2+2t+
20
3
|；
∵PF∥CE，
∴PF=CE，
∴|-
2
3
t2+2t+
20
3
|=
20
3
．
①当-
2
3
t2+2t+
20
3
=
20
3
时，t1=0（不合题意，舍去），t2=3．
②当-
2
3
t2+2t+
20
3
=-
20
3
时，t1=
3+
89
2
，t1=
3-
89
2
，
∴点P的横坐标为3或
3+
89
2
或
3-
89
2
．   

（4）∵S△QAG=
1
2
AG•h，
∴当Q到直线AB的距离最远时，S△QAG最大；
若设直线L∥AB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点Q；
设直线L：y=-
4
3
x+b，当直线L与抛物线有且只有一个交点时，
-
4
3
x+b=-
2
3
x2+
2
3
x+4，
且△=0；
求得：b=
11
2
，
即直线L：y=-
4
3
x+
11
2
；
可得点Q（
3
2
，
7
2
）．
由直线AB；y1=-
4
3
x-
8
3
与抛物线y=-
2
3
x2+
2
3
x+4的交点为：
A（-2，0），G（5，-
28
3
），
则直线QG：y=-
11
3
x+9；
设直线QG与x轴的交点为F，
则点F（
27
11
，0），
AF=OA+OF=
49
11
；
∴△QAG的最大值：S△QAG=S△QAF+S△AGF=
1
2
×
49
11
×（
28
3
+
7
2
）=
343
12
．
综上所述，当Q（
3
2
，
7
2
）时，△QAG的面积最大为
343
12
．
点评：该题考查的是函数的动点问题，其中综合了特殊四边形、图形面积的求法等知识，找出动点问题中的关键点位置是解答此类问题的大致思路．
练习册系列答案
相关题目
有一组单项式：a2，-
a2
2
，
a3
3
，-
a4
4
，…观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个单项式为
 
．
如果
1
2
a3xby与-a2ybx+1是同类项，则x+y的值为（　　）
A、2B、3C、4D、5
如图，⊙O的半径为4，PC切⊙O于点C，交直径AB延长线于点P，若CP长为4，则阴影部分的面积为（　　）
A、8-2πB、8-π
C、16-2πD、16-π
下列所给图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A、
B、
C、
D、
端午节前，爸爸先去超市买了大小，质量都相同的咸肉粽和碱水粽若干，碱水粽是咸肉粽的2倍；妈妈发现咸肉粽偏少，于是妈妈又去买了同样的3只咸肉粽和1只碱水粽，此时碱水粽和咸肉粽的数量相等．
（1）请计算出第一次爸爸买的咸肉粽和碱水粽各有多少只；
（2）若妈妈取出2只咸肉粽，3只碱水粽送爷爷和奶奶后，然后把剩余的粽子放进一个不透明的盒子．小明从盒中任取2只，问恰好是咸肉粽，碱水粽各1只的概率是多少？（可以用字母和数字代替咸肉粽和碱水粽的文字）．
如图，抛物线y=
3
18
x2-
13
3
18
x+2
3
与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，△ACD为等边三角形，以DC为半径的⊙D与y轴的另一交点为E．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）求△CDE的面积；
（3）点P为抛物线对称轴l上一点，点Q为抛物线上一点．若以P、Q、D、B为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的横坐标．
如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C（0，-3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D，点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交抛物线于P，Q两点（点P在第三象限）
（1）求抛物线的函数表达式和直线BC的函数表达式；
（2）当△CDE是直角三角形，且∠CDE=90° 时，求出点P的坐标；
（3）当△PBC的面积为
21
8
时，求点E的坐标．
已知一元二次方程x2+px+q+2=0的一根为3．
（1）求q关于p的关系式；
（2）求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点；
（3）设抛物线y=x2+px+q与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1+x2-5x1x2+1=0，求抛物线的解析式．

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