Question

已知反比例函数y=

k

2x

与一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过点（a，b）和（a+1，b+k）两点
（1）求反比例函数表达式；
（2）已知A在第一象限且同时在上述两个函数图象上，求A点坐标；
（3）坐标轴上是否存在一点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，求出其坐标．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：计算题

分析：（1）把点（a，b）和（a+1，b+k）两点分别代入y=2x-1得到b=2a-1，b+k=2（a+1）-1，然后消去a、b即可得到k=2，则可确定反比例函数解析式；
（2）根据反比例函数与一次函数的交点问题解方程组

y=2x-1 y= 1 x

可确定点A的坐标为（1，1）；
（3）根据A点坐标计算出OA=

2

，然后分类讨论：当△AOP为等腰三角且以点OA、OP为腰，则以O点为圆心

2

为半径作圆，与坐标轴的交点即为P点；当△AOP为等腰三角且以点AO、AP为腰，则以A点为圆心

2

为半径作圆，与坐标轴的交点即为P点；当△AOP为等腰三角且以点PA、PO为腰，则OA的垂直平分线与坐标轴的交点即为P，再根据坐标轴上点的坐标特征分别写出满足条件的所有P点坐标．

解答：解1）把点（a，b）和（a+1，b+k）两点分别代入y=2x-1得
b=2a-1，b+k=2（a+1）-1，
∴2a-1+k=2a+2-1，解得k=2，
∴反比例函数解析式为y=

2

2x

=

1

x

；
（2）解方程组

y=2x-1 y= 1 x

得

x=- 1 2 y=-2

或

x=1 y=1

，
∴点A的坐标为（1，1）；
（3）存在．
∵点A的坐标为（1，1）；
∴OA=

2

，
当△AOP为等腰三角且以点OA、OP为腰，则P点坐标为（

2

，0）、（0，

2

）、（-

2

，0）、（0，-

2

）；
当△AOP为等腰三角且以点AO、AP为腰，则P点坐标为（2，0）、（0，2）；
当△AOP为等腰三角且以点PA、PO为腰，则P点坐标为（1，0）、（0，1）．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了等腰三角形的判定与性质．