Question

如图所示，已知矩形ABCD中，AB=4 cm，AD=10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点。
（1）求证：EF+GH=5cm；
（2）求当∠APD=90°时，的值。

Answer 1

证明：（1）∵矩形ABCD中，AD=10cm，
∴BC=AD=10cm
∵E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点，
∴EF+GH=BP+PC=BC，
∴EF+GH=5cm；
解：（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠C=90°，
又∵∠APD=90°
∴由勾股定理得
AD²=AP²+DP²=AB²+BP²+PC²+DC²=BP²+（BC-BP）²+2AB²=BP²+（10-BP）²+32，
即100=2BP²-20BP+100+32，
解得BP=2或8，
当BP=2时，PC=8，EF=1，GH=4，这时，
当BP=8时，PC=2，EF=4，GH=1，这时=4，
∴的值为或4。