Question

如图所示，已知矩形ABCD中两条对角线AC、BD相交于点O，∠ADB=30°，DF∥AC交BC的延长线于F点，
（1）判定△AOB的形状，并说明理由．
（3）求证：BC=CF．

Answer 1

分析：（1）根据矩形性质得出OA=OC=

1

2

AC，OB=OD=

1

2

BD，AC=BD，∠BAD=90°，求出OA=OB，∠ABO=60°，根据等边三角形的判定推出即可；
（2）根据矩形性质得出AD∥CF，AD=BC，得出平行四边形ACFD，推出AD=CF，即可得出答案．

解答：（1）解：△AOB是等边三角形，
理由是：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=

1

2

AC，OB=OD=

1

2

BD，AC=BD，∠BAD=90°，
∴OA=OB，∠ABO=90°-30°=60°，
∴△AOB是等边三角形；

（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵DF∥AC，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴AD=CF，
∴BC=CF．

点评：本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，注意：矩形的对角线相等，平行四边形的对边相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．