Question

3．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下三个结论：①AD=BE；②EQ=DP；③△CPQ是等边三角形；其中一定成立的结论有①②③．

Answer 1

分析 根据等边三角形性质得出AB=BC=AC，DC=CE=DE，∠BCA=∠DCE=∠EDC=∠DEC=60°，推出∠ACD=∠BCE，根据SAS证△ACD≌△BCE，即可推出①；根据ASA证△DPC≌△EQC，推出CP=CQ，证三角形CPQ是等边三角形，即可推出②；

解答 解：
∵等边△ABC和等边△DCE，
∴BC=AC，DE=DC=CE，∠DEC=∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{DC=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE=∠DAC，AD=BE，∴①正确；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
在△DPC和△EQC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDA=∠CEB}\\{CD=CE}\\{∠DCP=∠ECD}\end{array}\right.$，
∴△DPC≌△EQC（ASA），
∴EQ=DP，故②正确；
CP=CQ，
∵∠BCD=60°，
∴△CPQ是等边三角形，故③正确，
综上可知正确的结论①②③，
故答案为：①②③．

点评 本题主要考查等边三角形的性质及全等三角形的判定等知识点，得到三角形全等是正确解答本题的关键．