Question

如图①，将▱ABCD置于直角坐标系中，其中BC边在x轴上（B在C的左边），点D坐标为（0，4），直线MN：y=x﹣6沿着x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被▱ABCD截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图②所示．

（1）填空：点C的坐标为　 　；在平移过程中，该直线先经过B、D中的哪一点？　 　；（填“B”或“D”）

（2）点B的坐标为　 　，n=　 　，a=　 　；

（3）在平移过程中，求该直线扫过▱ABCD的面积y与t的函数关系式．

Answer 1

【考点】几何变换综合题．

【分析】（1）根据直线解析式求出点M、N的坐标，再根据图2判断出CM的长，然后求出OC，从而得到点C的坐标，根据被截线段在一段时间内长度不变可以判断出先经过点B后经过点D；

（2）根据图2求出BM=10，再求出OB，然后写出点B的坐标，利用勾股定理列式求出CD，再求出BC的长度，从而得到BC=CD，判断出▱ABCD是菱形，再求出MN⊥CD，根据菱形的性质可知n=DO，根据向左平移横坐标减表示出平移后的直线解析式，把点D的坐标代入函数解析式求出t的值即为a；

（3）分三种情况分段讨论即可．

【解答】解：（1）令y=0，则x﹣6=0，解得x=8，

令x=0，则y=﹣6，

∴点M（8，0），N（0，﹣6）

∴OM=8，ON=6，

由图2可知5秒后直线经过点C，

∴CM=5，OC=OM﹣CM=8﹣5=3，

∴C（3，0），

∵10秒～a秒被截线段长度不变，

∴先经过点B；

故填：（3，0）；B

（2）由图2可知BM=10，

∴OB=BM﹣OM=10﹣8=2，

∴B（﹣2，0），

在Rt△OCD中，由勾股定理得，CD==5，

∴BC=CD=5，

∴▱ABCD是菱形，

∵，

∴MN⊥CD，

∴n=DO=4

∵设直线MN向x轴负方向平移的速度为每秒1个单位的长度，

平移后的直线解析式为y= （x+t）﹣6，

把点D（0，4）代入得，（0+t）﹣6=4，

解得t=，

∴a=；

故答案为：（1）（3，0），B；（2）（﹣2，0），4，；

（3）当0≤t≤5时，y=0；                                        

当5＜t≤10，如图1，该直线与BC、CD分别交于F、E，FC=t﹣5，

∵直线CD的解析式为：y=﹣x+4，

∴EF⊥CD，

∴△CEF∽△COD，

∴，

∴，

∴EF=，CE=，

∴y=××==t²﹣12t+30，

当10＜t≤，如图2，直线与AB、CD分别交于G、E，与射线CB交于F，FB=t﹣10，

∵△BGF∽△COD，

∴

∴FG=，BG=，

y=S_△CEF﹣S_△BGF=﹣=（10t﹣75）=12t﹣90，

当时，如图3，BG=，AG=5﹣，

∵△EAG∽△DCO，

∵=，

∴DG=×（5﹣），

∴y=20﹣（5﹣）××（5﹣）=，

当t≥时y=20．

综上所述：

y=．

【点评】本题是一次函数综合题型，主要利用了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，一次函数图象的平移，待定系数法求一次函数解析式，表示出平移后的直线MN的解析式是解题的关键，也是本题的难点．