Question

三个等圆O₁，O₂，O₃有公共点H，点A、B、C是其他交点，则H是三角形ABC的（　　）

• A、外心
• B、内心
• C、垂心
• D、重心

Answer 1

考点：三角形的五心

专题：计算题

分析：延长AE交BC于E点，延长CH交AB于F点，根据两等圆相交所得的对应弧相等得到∠1所对的弧BH与∠4所对的弧BH为等弧；∠2所对的弧BH与∠5所对的弧BH为等弧；∠3所对的弧BH与∠6所对的弧BH为等弧，根据圆周角定理得∠1=∠4，∠2=∠5，∠3=∠6，再利用三角形内角和定理得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°，则∠2+∠3+∠4=90°，∠1+∠3+∠2=90°，于是AE⊥BC，CF⊥AB，然后根据垂心的定义进行判断．

解答：解：延长AH交BC于E点，延长CH交AB于F点，如图，
∵三个等圆O₁，O₂，O₃有公共点H，
∴∠1所对的弧BH与∠4所对的弧BH为等弧；∠2所对的弧CH与∠5所对的弧CH为同弧；∠3所对的弧AH与∠6所对的弧AH为同弧，
∴∠1=∠4，∠2=∠5，∠3=∠6，
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°，
∴2∠2+2∠3+2∠4=180°，2∠1+2∠3+2∠2=180°，
∴∠2+∠3+∠4=90°，∠1+∠3+∠2=90°，
∴AE⊥BC，CF⊥AB，
∴点H为△ABC的垂心．
故选C．

点评：本题考查了三角形的五心：三角形的内心、外心、重心、垂心和旁心．也考查了相交两圆的性质、圆周角定理以及三角形内角和定理．