Question

4．已知抛物线y₁=-$\frac{1}{6}$x₂，抛物线y₂=ax²经过点（2，-$\frac{1}{3}$）

（1）求抛物线y₂的解析式
（2）正比例函数y=kx（k＞0）与抛物线y₁和抛物线y₂分别交于AB两点，则OA、OB是否有某种确定的数量关系，证明你的结论
（3）将抛物线y₂向上平移，平移后的抛物线经过点C（-12，0），与y轴交于点D，且P为抛物线上C、D之间的一动点（含C、D两点），E（6，0）、F（0，10）．若P点的横坐标为x，△PEF的面积为y
①求y关于x的函数关系式
②若y为正整数，求P点的个数（直接写出结果）

Answer 1

分析 （1）把已知点的坐标代入抛物线y₂的解析式，可求得a的值，可求得抛物线y₂的解析式；
（2）联立直线与两抛物线解析式，可用k分别表示出A、B两点的坐标，则可表示出OA、OB的长，可求得其数量关系；
（3）①可设平移后抛物线解析式，再把C点坐标代入可求得其解析式，则可表示出P点坐标，由E、F可求得直线EF的解析式，当P在E、F之间时，过点P作PQ∥x轴交EF于Q，可表示出Q点的坐标，则可求得y；当P在F点上方时，过点P作PQ∥y轴交EF于Q，同理可求得y与x的关系式；②利用①中所求函数关系式，可求得y的最值，则可求得y为正整数时的个数，可求得P点的个数．

解答 解：
（1）∵抛物线y₂=ax²经过点（2，-$\frac{1}{3}$），
∴4a=-$\frac{1}{3}$，解得a=-$\frac{1}{12}$，
∴抛物线解析式为y₂=-$\frac{1}{12}$x²，
（2）联立正比例函数和抛物线y₁可得$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=-\frac{1}{6}{x}^{2}}\end{array}\right.$，解得x=0或x=-6k，
∴A（-6k，-6k²），
∴OA=$\sqrt{（-6k）^{2}+（-6{k}^{2}）^{2}}$=$6k\sqrt{1+{k}^{2}}$，
联立正比例函数与抛物线y₂可得$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=-\frac{1}{12}{x}^{2}}\end{array}\right.$，解得x=0或x=-12k，
∴B（-12k，-12k²），
∴OB=$\sqrt{（-12k）^{2}+（-12{k}^{2}）^{2}}$=12k$\sqrt{1+{k}^{2}}$，
∴OB=2OA；
（3）①设平移后抛物线解析式为y=-$\frac{1}{12}$x²+s，
∵平移后劲抛物线过点C（-12，0），
∴0=-12+s，解得s=12，
∴平移后抛物线解析式为y=-$\frac{1}{12}$x²+12，
∴P（x，-$\frac{1}{12}$x²+12），
∵E（6，0）、F（0，10），
∴直线EF解析式为y=$\frac{5}{3}$x+10，
令-$\frac{1}{12}$x²+12=10，解得x=±2$\sqrt{6}$，
当P在E、F之间时，即-12≤x≤-2$\sqrt{6}$时，过点P作PQ∥x轴交EF于Q，如图1，

此时Q点纵坐标为-$\frac{1}{12}$x²+12，
∴Q（-$\frac{1}{20}$x²+$\frac{6}{5}$，-$\frac{1}{12}$x²+12），
∴PQ=-$\frac{1}{20}$x²+$\frac{6}{5}$-x，
∴y=$\frac{1}{2}$PQ•OF=$\frac{1}{2}$×10PQ=5PQ=5（-$\frac{1}{20}$x²+$\frac{6}{5}$-x）=-$\frac{1}{4}$x²-5x+6；
当P在F点上方时，即-2$\sqrt{6}$＜x≤0时，过点P作PQ∥y轴交EF于Q，如图2，

此时Q（x，$\frac{5}{3}$x+10），
∴PQ=-$\frac{1}{12}$x²+12-（$\frac{5}{3}$x+10）=-$\frac{1}{12}$x²-$\frac{5}{3}$x+2，
∴y=$\frac{1}{2}$PQ•OE=$\frac{1}{2}$×6PQ=3PQ=-$\frac{1}{4}$x²-5x+6；
综上可知y=-$\frac{1}{4}$x²-5x+6（-12≤x≤0）；
②∵y=-$\frac{1}{4}$x²-5x+6=-$\frac{1}{4}$（x+10）²+31，
∴当x=-12时，y有最大值31，
∴满足条件的P点的个数有31个．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、函数图象的交点、图象的平移、三角形的面积、方程思想及分类讨论思想等知识点．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用k分别表示出OA和OB的长是解题的关键，在（3）中用得出y与x的函数关系式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．