Question

7．如图：△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点P．连接AD、BD，AC=5，AB=10．
（1）求$\widehat{BC}$的长度；
（2）过点D作AB的平行线，交CB的延长线于点F，试判断DF与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接OC，如图，由圆周角定理得到∠ACB=90°，则OC=OA=OB=$\frac{1}{2}$AB=5，易得△AOC是等边三角形，所以∠CAB=60°，接着利用圆周角定理得到∠COB=2∠CAB=120°，然后根据弧长公式计算弧BC的长度；
（2）连接OD，如图，由于CD平分∠ACB，则∠ACD=∠DCB=45°，利用圆周角定理得到∠DOB=$\frac{1}{2}$∠DCB=90°，再根据平行线的性质易得∠ODF=90°，即OD⊥DF，然后根据切线的判定定理可得DF是⊙O的切线．

解答 解：（1）连接OC，如图，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，OA=OB，
∴OC=OA=OB=$\frac{1}{2}$AB=5，
∵AC=5，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠CAB=60°，
∴∠COB=2∠CAB=120°，
∴弧BC的长度为$\frac{120•π•5}{180}$=$\frac{10}{3}$π；
（2）DF是⊙O的切线．理由如下：
连接OD，如图，
∵CD平分∠ACB，∠ACB=90°
∴∠ACD=∠DCB=45°，
∴∠DOB=$\frac{1}{2}$∠DCB=90°，
∵AB∥DF，
∴∠DOB+∠ODF=180°，
∴∠ODF=90°，
∴OD⊥DF
又∵OD为半径，
∴DF是⊙O的切线．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．解决（1）小题的关键是确定∠BOC的度数．