Question

2．（1）已知：如图1，点O为直线AB上任意一点，射线OC为任意一条射线．OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，则∠DOE=90°；
（2）已知：如图2，点O为直线AB上任意一点，射线OC为任意一条射线，其中∠COD=$\frac{1}{3}$∠AOC，∠COE=$\frac{1}{3}$∠BOC，求∠DOE得度数；
（3）如图3，点O为直线AB上任意一点，OD是∠AOC的平分线，OE在∠BOC内，∠COE=$\frac{1}{3}$∠BOC，∠DOE=72°，求∠BOE的度数．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义得到∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOB=90°；
（2）根据∠COD=$\frac{1}{3}$∠AOC，∠COE=$\frac{1}{3}$∠BOC和平角的定义即可得到结论；
（3）设∠BOC=x°则∠COE=$\frac{1}{3}$x°，∠BOE=$\frac{2}{3}$x°，∠AOC=（180-x）°，由OD是∠AOC的平分线，得到∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC=（90-$\frac{1}{2}$x）°，根据已知条件列方程即可得到结论．

解答 解：（1）∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COD=$\frac{1}{2}∠$AOC，∠COE=$\frac{1}{2}∠$BOC，
∵∠AOB=180°，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠BOC）=$\frac{1}{2}∠AOB=90°$；
故答案为：90°；
（2）∵∠COD=$\frac{1}{3}$∠AOC，∠COE=$\frac{1}{3}$∠BOC，
∴∠DOE=∠COD+∠COE，
=$\frac{1}{3}$∠AOC+$\frac{1}{3}$∠BOC=$\frac{1}{3}$（∠AOC+∠BOC）=$\frac{1}{3}$∠AOB=60°；
（3）设∠BOC=x°则∠COE=$\frac{1}{3}$x°，∠BOE=$\frac{2}{3}$x°，∠AOC=180°-x°，
∵OD是∠AOC的平分线，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC=90°-$\frac{1}{2}$x°，
∵∠DOE=72°，
∴90°-$\frac{1}{2}$x°+$\frac{1}{3}$x°=72°，
解得：x=108，
∴∠BOE=$\frac{2}{3}$×108°=72°．

点评 本题考查了角平分线的定义．根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．