Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx经过点A（﹣1，）及原点，交x轴于另一点C（2，0），点D（0，m）是y轴正半轴上一动点，直线AD交抛物线于另一点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，连接AO、BO，若△OAB的面积为5，求m的值；

（3）如图2，作BE⊥x轴于E，连接AC、DE，当D点运动变化时，AC、DE的位置关系是否变化？请证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x；(2)2;(3) AC和DE的位置关系不变．

【解析】分析：（1）由A、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）可设直线AD解析式为y＝kx＋m，把A点坐标代入可求得k与m的关系，联立直线AD与抛物线解析式，则可用m表示出B点横坐标，从而可用m表示出△AOB的面积，结合△AOB的面积为5可得到关于m的方程，可求得m的值；

（3）由A、C坐标可求得直线AC的解析式，用m可表示出D、E的坐标，则可表示出直线DE的解析式，则可证得结论．

详解：

（1）∵抛物线y=ax2+bx经过点A（﹣1，）和点C（2，0），

∴，解得，

∴抛物线解析式为y=x2﹣x；

（2）∵D（0，m），

∴可设直线AD解析式为y=kx+m，

把A点坐标代入可得=﹣k+m，即k=m﹣，

∴直线AD解析式为y=（m﹣）x+m，

联立直线AD与抛物线解析式可得，

消去y，整理可得x2+（﹣m）x﹣m=0，解得x=﹣1或x=2m，

∴B点横坐标为2m，

∵S△AOB=5，

∴OD[2m﹣（﹣1）]=5，即m（2m+1）=5，解得m=﹣或m=2，

∵点D（0，m）是y轴正半轴上一动点，

∴m=2；

（3）AC和DE的位置关系不变，证明如下：

设直线AC解析式为y=k′x+b′，

∵A（﹣1，）、C（2，0），′

∴，解得，

∴直线AC解析式为y=﹣x+1，

由（2）可知E（2m，0），且D（0，m），

∴可设直线DE解析式为y=sx+m，

∴0=2ms+m，解得s=﹣，

∴直线DE解析式为y=﹣x+m，

∴AC∥DE，即AC和DE的位置关系不变．