题目内容
【题目】（问题情境）
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
（探究展示）
(1)证明：AM=AD+MC；
(2)AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（拓展延伸）
(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示(1)、(2)中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．
【答案】(1)证明见解析；(2)AM=DE+BM成立，证明见解析；(3)①结论AM=AD+MC仍然成立；②结论AM=DE+BM不成立．
【解析】
（1）从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N，易证△ADE≌△NCE，得到AD=CN，再证明AM=NM即可;（2）过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，
易证△ABF≌△ADE，从而证明AM=FM，即可得证；（3）AM=DE+BM需要四边形ABCD是正方形，故不成立，AM=AD+MC仍然成立.
(1)延长AE、BC交于点N，如图1(1)，
∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC．∴∠DAE=∠ENC．
∵AE平分∠DAM，∴∠DAE=∠MAE．∴∠ENC=∠MAE．∴MA=MN．
在△ADE和△NCE中，
∴△ADE≌△NCE(AAS)．∴AD=NC．∴MA=MN=NC+MC=AD+MC．
(2)AM=DE+BM成立．
证明：过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图1(2)所示．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC．
∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°．∴∠FAB=90°﹣∠BAE=∠DAE．
在△ABF和△ADE中，
∴△ABF≌△ADE(ASA)．
∴BF=DE，∠F=∠AED．
∵AB∥DC，
∴∠AED=∠BAE．
∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM．
∴∠F=∠FAM．
∴AM=FM．
∴AM=FB+BM=DE+BM．
(3)①结论AM=AD+MC仍然成立．②结论AM=DE+BM不成立．
