Question

如图，O是坐标原点，直线OA与双曲线（k≠0）在第一象限内交于点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，若OB=4，tan∠AOB=．
（1）求双曲线的解析式；
（2）直线AC与y轴交于点C（0，1），与x轴交于点D，求AD的长．

Answer 1

解：（1）∵AB⊥x轴，OB=4，tan∠AOB=，
∴=，
∴AB=2，
∴A点坐标为（4，2），
把A（4，2）代入y=得，k=4×2=8，
∴双曲线的解析式为y=；

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（4，2）、C（0，1）代入得，4k+b=2，b=1，解得k=，b=1，
∴直线AC的解析式为y=x+1，
令y=0，则x+1=0，解得x=-4，
∴D点坐标为（-4，0），
在Rt△ABD中，AB=2，BD=8，
∴AD===2．
分析：（1）根据正切的定义得到=，而OB=4，得到AB=2，则A点坐标为（4，2），然后把A（4，2）代入y=即可求出k，从而确定双曲线的解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后确定D点坐标，最后根据勾股定理计算出AD的长．
点评：本题考查了反比例函数综合题：先利用几何条件确定反比例函数图象上点的坐标，再利用待定系数法确定反比例函数的解析式，然后利用反比例函数的性质解决问题．也考查了勾股定理．