Question

如图，O是坐标原点，A是X轴上的一点，C是Y轴上的一点，OB是以A圆心的半圆的直径，BD∥AC交半圆于D，其BD=2，
（1）当A、C的坐标分别为（x，0），（0，y）时，请用x的代数式表示y；
（2）当A点的坐标为（2，0）时，求过C、D两点，顶点在直线x=2上的抛物线的解析式；
（3）在所求的抛物线上是否存在点P，使得S_△POB=2S_△OAD？

Answer 1

分析：（1）可通过构建相似三角形来求解，连接OD，那么根据A，C的坐标可得，OB=2x，OC=y，那么通过相似三角形OCA和DOB可得出关于OD，OA，BD，OB的比例关系，即可得出用x表示y的代数式．
（2）当A的坐标为2时，即x=2，然后代入（1）中各线段的表达式中，不难得出C，D两点的坐标，那么根据抛物线的顶点在x=2上，那么可用顶点式来设二次函数，然后将C，D的坐标代入即可得出抛物线的解析式．
（3）可先求出三角形POB的面积，由于OB的长为定值，因此可求出P点的纵坐标的绝对值，由于（2）的抛物线与x轴没有交点且开口向上，因此P的纵坐标为正值，然后将P点的纵坐标代入抛物线的解析式中，即可求出P点的坐标．

解答：解：（1）由A（x，0），可得：B（2x，0）；
所以，OA=x，OB=2x，BD=2．
连接OD，则有：OD⊥BD；由勾股定理可得：OD=2

x2-1

因为，BD∥AC，
所以，∠OAC=∠DBO；
而且，∠AOC=90°=∠BDO，可得：△OAC∽△DBO；
所以，

OC

OD

=

OA

BD

，
可求得：OC=x

x2-1

由C（0，y），可得：y=x

x2-1

．

（2）由A（2，0），利用（1）中求得的各线段表达式，
容易求得：C（0，2

3

），D（3，

3

）．
设所求的顶点在直线x=2上的抛物线的解析式为y=a（x-2）²+b；
抛物线过C、D两点，将C、D两点坐标代入，
可求得：a=

3

3

，b=

2 3

3

．
代入抛物线的解析式，
可得：y=

3

3

x²-

4 3

3

x+2

3

．

（3）设使得S_△POB=2S_△OAD的点P坐标为（m，n），
则有：S_△POB=2n，2S_△OAD=2

3

；
所以，2n=2

3

，
解得：n=

3

．
点P在抛物线上，得：n=

3

3

m²-

4 3

3

m+2

3

，
将n=

3

代入，
可求得：m=1或m=3．
所以，存在这样的点P，其坐标为（1，

3

）或（3，

3

）．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质以及二次函数的综合应用，通过构建相似三角形得出x，y的关系式是解题的关键．