题目内容

如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）已知直线l的解析式为y=x+m，它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P．
①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积；
②当m=-3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F．是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：压轴题
分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）①如答图1，作辅助线，利用关系式S△OPH=S△OMH-S△OMP求解；
②本问涉及复杂的分类讨论，如答图2所示．由于点P可能在OC、BC、BK、AK、OA上，而等腰三角形本身又有三种情形，故讨论与计算的过程比较复杂，需要耐心细致、考虑全面．
解答：解：（1）由题意得：A（4，0），C（0，4），对称轴为x=1．
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则有：
16a+4b+c=0
c=4
-
b
2a
=1
，
解得
a=-
1
2
b=1
c=4
．
∴抛物线的函数解析式为：y=-
1
2
x2+x+4．

（2）①当m=0时，直线l：y=x．
∵抛物线对称轴为x=1，
∴CP=1．
如答图1，延长HP交y轴于点M，则△OMH、△CMP均为等腰直角三角形．

∴CM=CP=1，
∴OM=OC+CM=5．
S△OPH=S△OMH-S△OMP=
1
2
（
2
2
OM）2-
1
2
OM•CP=
1
2
×（
2
2
×5）2-
1
2
×5×1=
25
4
-
5
2
=
15
4
，
∴S△OPH=
15
4
．

②当m=-3时，直线l：y=x-3．
设直线l与x轴、y轴交于点G、点D，则G（3，0），D（0，-3）．
假设存在满足条件的点P．
a）当点P在OC边上时，如答图2-1所示，此时点E与点O重合．
设PE=a（0＜a≤4），
则PD=3+a，PF=
2
2
PD=
2
2
（3+a）．
过点F作FN⊥y轴于点N，则FN=PN=
2
2
PF，∴EN=|PN-PE|=|
2
2
PF-PE|．
在Rt△EFN中，由勾股定理得：EF=
EN2+FN2
=
PE2-
2
PE•PF+PF2
．
若PE=PF，则：a=
2
2
（3+a），解得a=3（
2
+1）＞4，故此种情形不存在；
若PF=EF，则：PF=
PE2-
2
PE•PF+PF2
，整理得PE=
2
PF，即a=3+a，不成立，故此种情形不存在；
若PE=EF，则：PE=
PE2-
2
PE•PF+PF2
，整理得PF=
2
PE，即
2
2
（3+a）=
2
a，解得a=3．
∴P1（0，3）．

b）当点P在BC边上时，如答图2-2所示，此时PE=4．
若PE=PF，则点P为∠OGD的角平分线与BC的交点，有GE=GF，过点F分别作FH⊥PE于点H，FK⊥x轴于点K，
∵∠OGD=135°，
∴∠EPF=45°，即△PHF为等腰直角三角形，
设GE=GF=t，则GK=FK=EH=
2
2
t，
∴PH=HF=EK=EG+GK=t+
2
2
t，
∴PE=PH+EH=t+
2
2
t+
2
2
t=4，
解得t=4
2
-4，
则OE=3-t=7-4
2
，
∴P2（7-4
2
，4）
c）∵A（4，0），B（2，4），
∴可求得直线AB解析式为：y=-2x+8；
联立y=-2x+8与y=x-3，解得x=
11
3
，y=
2
3
．
设直线BA与直线l交于点K，则K（
11
3
，
2
3
）．
当点P在线段BK上时，如答图2-3所示．
设P（a，8-2a）（2≤a≤
11
3
），则Q（a，a-3），
∴PE=8-2a，PQ=11-3a，
∴PF=
2
2
（11-3a）．
与a）同理，可求得：EF=
PE2-
2
PE•PF+PF2
．
若PE=PF，则8-2a=
2
2
（11-3a），解得a=1-2
2
＜0，故此种情形不存在；
若PF=EF，则PF=
PE2-
2
PE•PF+PF2
，整理得PE=
2
PF，即8-2a=
2
•
2
2
（11-3a），解得a=3，符合条件，此时P3（3，2）；
若PE=EF，则PE=
PE2-
2
PE•PF+PF2
，整理得PF=
2
PE，即
2
2
（11-3a）=
2
（8-2a），解得a=5＞
11
3
，故此种情形不存在．

d）当点P在线段KA上时，如答图2-4所示．
∵PE、PF夹角为135°，
∴只可能是PE=PF成立．
∴点P在∠KGA的平分线上．
设此角平分线与y轴交于点M，过点M作MN⊥直线l于点N，则OM=MN，MD=
2
MN，
由OD=OM+MD=3，可求得M（0，3-3
2
）．
又因为G（3，0），
可求得直线MG的解析式为：y=（
2
-1）x+3-3
2
．
联立直线MG：y=（
2
-1）x+3-3
2
与直线AB：y=-2x+8，
可求得：P4（1+2
2
，6-4
2
）．
e）当点P在OA边上时，此时PE=0，等腰三角形不存在．
综上所述，存在满足条件的点P，点P坐标为：（0，3）、（3，2）、（7-4
2
，4）、（1+2
2
，6-4
2
）．
点评：本题是二次函数压轴题，涉及二次函数的图象与性质、待定系数法、图形面积、勾股定理、角平分线性质等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．第（2）②问中涉及复杂的分类讨论，使得试题的难度较大．
练习册系列答案
相关题目
如果两个多边形不仅相似（相似比不等于1），而且有一条公共边，那么就称这两个多边形是共边相似多边形．例如，图①中，△ABC与△ACD是共AC边相似三角形，图②中，?ABCD与?CEFD是共CD边相似四边形．

（1）判断下列命题的真假（在相应括号内填上“真”或“假”）：
①正三角形的共边相似三角形是正三角形．
 

②如果两个三角形是位似三角形，那么这两个三角形不可能是共边相似三角形．
 

（2）如图③，在△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，画2个不全等的三角形，使这2个三角形均是与△ABC共BC边的相似三角形．（要求：画图工具不限，不写画法，保留画图痕迹或有必要的说明）
（3）图④是相邻两边长分别为a、b（a＞b）的矩形，图⑤是边长为c的菱形，图⑥是两底长分别为d、e，腰长为f（0＜e-d＜2f）的等腰梯形，判断这三个图形是否存在共边相似四边形？如果存在，直接写出它们的共边相似四边形各边的长度．
（4）根据（1）、（2）和（3）中获得的经验回答：如果一个多边形存在它的共边相似多边形，那么它必须满足条件：
 
．
如图，D、E分别是△ABC的边BC、AB上的点，△ABC，△BDE，△ACD的周长依次为m，m1，m2．
（1）当∠2=∠3，BD=
3
5
BC时，求
m1
m
的值；
（2）当∠1=∠2，BD=
3
5
BC时，求（
m2
m
）2的值；
（3）当∠1=∠2=∠3时，证明：
m1+m2
m
≤
5
4
．
（1）如图1，已知以△ABC的边AB、AC分别向外作等腰直角△ABD与等腰直角△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于点G，求证：BE=DC，且BE⊥DC．

请补充完整证明“BE=DC，且BE⊥DC”的推理过程；
证明：∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形（已知）
∴AB=AD，AE=AC（等腰直角三角形定义）
又∵∠BAD=∠CAE=90°（已知）
∴∠BAD+∠BAC=
 
（等式性质）
即：
 

∴△ABE≌△ADC（
 
）
∴BE=DC（全等三角形的对应边相等）
∠ABE=∠ADC（全等三角形的对应角相等）
又∵∠BFO=∠DFA（
 
）
∠ADF+∠DFA=90°（直角三角形的两个锐角互余）
∴∠ABE+∠BFO=90°（等量代换）
∴
 
 即BE⊥DC
（2）探究：若以△ABC的边AB、AC分别向外作等边△ABD与等边△ACE，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于G，如图2，则BE与DC还相等吗？若相等，请证明，若不相等，说明理由；并请求出∠BOD的度数？
比较大小
（1）
37
与6；       
（2）
10
-1
2
与1．
化简求值：a（a+b）（a-b）-a（a+b）2，其中a+b=1，ab=-
1
2
．
将-2×2×2×2改写成乘方的形式为
 
．
在△ABC中，∠A-∠B=20°，∠A=2∠C，则∠A=
 
°，∠C=
 
°．
2014年我国农村义务教育保障资金约为87 900 000 000元，请将数87 900 000 000用科学记数法表示为
 
．

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