Question

如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，

　 BM^直线a于点M，CN^直线a于点N，连接PM、PN；

　 (1) 延长MP交CN于点E(如图2)。j 求证：△BPM@△CPE；k 求证：PM = PN；

　 (2) 若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变。此时

　　 PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

　 (3) 若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变。请直接判断四边形MBCN

　　 的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由。

Answer 1

 (1) 证明：j 如图2，∵BM^直线a于点M，CN^直线a于点N，

              ∴ÐBMN=ÐCNM=90°，∴BM//CN，∴ÐMBP=ÐECP，

              又∵P为BC边中点，∴BP=CP，又∵ÐBPM=ÐCPE，∴△BPM@△CPE，

            k ∵△BPM@△CPE，∴PM=PE，∴PM=ME，∴在Rt△MNE中，PN=ME，

              ∴PM=PN；

   (2) 成立，如图3，

      证明 延长MP与NC的延长线相交于点E，∵BM^直线a于点M，CN^直线a于点N，

            ∴ÐBMN=ÐCNM=90°，∴ÐBMN+ÐCNM=180°，∴BM//CN，∴ÐMBP=ÐECP，

            又∵P为BC中点，∴BP=CP，又∵ÐBPM=ÐCPE，∴△BPM@△CPE，∴PM=PE，

            ∴PM=ME，则在Rt△MNE中，PN=ME，∴PM=PN。

   (3) 四边形MBCN是矩形，PM=PN成立。