Question

8．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为边AB中点，点E、F分别在射线CA、BC上，且AE=CF，连结EF．
猜想：如图①，当点E、F分别在边CA和BC上时，线段DE与DF的大小关系为DE=DF．
探究：如图②，当点E、F分别在边CA、BC的延长线上时，判断线段DE与DF的大小关系，并加以证明．
应用：如图②，若DE=4，利用探究得到的结论，求△DEF的面积．

Answer 1

分析 猜想：连接CD，可证明△ADE≌△CFD，可得出结论；
探究：连接CD，同（1）可证明△ADE≌△CFD，可证得DE=DF；
应用：由△ADE≌△CFD可证得∠EDF=90°，容易求得△DEF的面积．

解答 猜想：DE=DF．
如图1，连结CD，

∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAD=45°，
∵D为边AB的中点，
∴CD=AD，∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
∴∠EAD=∠FCD，
在△AED和△CFD中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠EAD=∠CFD}\\{AE=CF}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△CFD（SAS），
∴DE=DF，
故答案为：DE=DF；
探究：DE=DF，证明如下：
如图2，连接CD，

∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAD=45°，
∵D为AB中点，
∴AD=CD，∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
∵∠CAD+∠EAD=∠BCD+∠FCD=180°，
∴∠EAD=∠FCD=135°，
在△ADE和△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠EAD=∠FCD}\\{AE=CF}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE=DF；
应用：
∵△ADE≌△CDF，
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠ADC=90°，
∴∠EDF=90°，
∵DE=DF=4，
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}$DE²=$\frac{1}{2}$×4²=8．

点评 本题为三角形综合应用，涉及知识点有等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质及三角形的面积等．在探究中把问题转化为图1中的问题是解题的关键，即构造三角形全等．本题主要就是全等三角形的判定和性质的应用，属于基础题，难度不大．