Question

3．在ABC中，边AC上有一点D满足DC=2AD，O是△BDC的内心，E、F分别为⊙O与边BD、DC的切点，设BD=BC．
（1）求证：①AE⊥EF，②AE∥DO；
（2）若AC=6，⊙O的半径为1，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）①连接BO、OF，由点O是△BDC的内心，所以BO是△BDC的平分线，又因为DC是⊙O的切线，所以OF⊥DC，又因为BD=BC，由三线合一可知，B、O、F三点共线，所以可得AD=DF，然后利用切线长定理可知AD=DE=DF，从而可知∠AEF=90°；
②点O是△BDC的内心可知，DO是△BDC的平分线，所以∠EDO=∠DEA，从而可得AE∥DO；
（2）由（1）可知DO⊥EF，设DO与EF相交于点G，由勾股定理求出DO的长度，再由等面积可求得GF的长度，利用垂径定理可得EF的长度，最后用勾股定理即可求出AE的长度．

解答 解（1）①连接OB、OF，
∵点O是△BDC的内心，
∴OB平分∠DBC，
∵CD与⊙O相切，
∴OF⊥CD，
∵BD=BC，
∴B、O、F三点共线，
∴DF=CF，
∵DC=2AD，
∴AD=DF，
∵BD与⊙O相切，
∴由切线长定理可知：DE=DF，
∴AD=DE=DF，
∴A、E、F三点共圆，且圆心为D
∵AF是⊙D的直径，
∴∠AEF=90°，
∴AE⊥EF，

②∵O是△BDC的内心，
∴DO平分∠BDC，
∴∠EDF=2∠EDO，
∵∠EDF=∠DAE+∠DEA，
∴2∠EDO=2∠DEA，
∴∠EDO=∠DEA，
∴AE∥DO，

（2）设DO与EF相交于点G，
由（1）可知：DE=DF，DO平分∠EDF，
∴DO⊥EF，
∵AD=DF=CF，AC=6，
∴DF=2，
∵OF=1，
∴由勾股定理可求得：OD=$\sqrt{5}$，
∵$\frac{1}{2}$DF•OF=$\frac{1}{2}$OD•FG，
∴FG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
由垂径定理可知：EF=2FG=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵AF=2DF=4，
∵∠AEF=90°，
∴由勾股定理可求得：AE=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查三角形的内心性质，涉及切线长定理，等腰三角形的三线合一，勾股定理，垂径定理等知识，内容较为综合，需要学生灵活运用所学知识进行解答．