Question

5．如图，边长为$\sqrt{3}$的正六边形ABCDEF的顶点A、B在圆O上，顶点C、D、E、F在该圆内，∠AOB=36°，将正六边形ABCDEF绕点A逆时针旋转，当点F第一次落在圆上时，点E运动的路线长是$\frac{2}{5}$π（结果保留π）．

Answer 1

分析 作辅助线，首先求出∠F′AB的大小，进而求出旋转的角度，利用弧长公式问题即可解决．

解答 解：∵∠AOB=36°，
∴∠OAB=72°；
同理可证：∠OAF′=72°，
∴∠D′AB=144°；
∵边长为$\sqrt{3}$的正六边形ABCDEF，
∴∠FAB=120°，
∴∠FAF′=144°-120°=24°，AE=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$=3，
∴当点F第一次落在圆上时，点F运动的路线长为：$\frac{24π×3}{180}$=$\frac{2}{5}$π．
故答案为：$\frac{2}{5}$π．

点评 该题主要考查了旋转的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线，准确求出旋转角．