题目内容

如图，矩形ABCD（点A在第一象限）与x轴的正半轴相交于M，与y的负半轴相交于N，AB∥x轴，反比例函数的图象y=
k
x
过A、C两点，直线AC与x轴相交于点E、与y轴相交于点F．
（1）若B（-3，3），直线AC的解析式为y=ax+b．
①求a的值；
②连接OA、OC，若△OAC的面积记为S△OAC，△ABC的面积记为S△ABC，记S=S△ABC-S△OAC，问S是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．
（2）AE与CF是否相等？请证明你的结论．
（1）①∵四边形ABCD是矩形，且AB∥x轴，B（-3，3），
∴A（
k
3
，3）、C（-3，-
k
3
）．
∵y=ax+b经过A、C两点，
∴
k
3
a+b=3
-3a+b=-
k
3
，消去b得：（
k
3
+3）a=
k
3
+3．
∵k＞0，故
k
3
+3≠0，∴a=1．
②S=S△ABC-S△OAC=S△ACD-S△OAC=S△AOM+S△CON+S矩形ONDM，
∴S=
k
2
+
k
2
+
k2
9
=
1
9
（k+
9
2
）2-
9
4
；
∴当k＞-
9
2
时，S随k的增大而增大，
由于k＞0，故k没有最小值，S也没有最小值．

（2）AE=CF，理由如下：
连接MN，设AB与y轴的交点为P，BC与x轴的交点为Q；
则S矩形APOM=S矩形CQON=k，
∴DN•AD=DM•CD，即
DN
CD
=
DM
AD
，
又∵∠D=∠D，
∴△DNM∽△DCA，得∠DNM=∠DCA，
∴MN∥AC；
又∵AD∥y轴，故四边形AFNM是平行四边形，
同理四边形CNME是平行四边形，
∴CE=MN=AF，故AE=CF．
练习册系列答案
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m
x
（x＞0）的图象与一次函数y=-
1
2
x+
5
2
的图象交于A、B两点，点C的坐标为（1，
1
2
），连接AC，AC平行于y轴．
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k
x
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1
x
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1
x
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1
3
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1
a
)，R(b，
1
b
)，求直线OM对应的函数表达式（用含a，b的代数式表示）；
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1
3
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k
x
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k
x
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9
2
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k
x
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4
3
，则k=______．
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