Question

如图在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，已知DE=DF，∠EDF=∠A．
（1）求证：△BAC∽△EDF；
（2）求证：

BD

CE

=

AB

BC

．

Answer 1

分析：（1）由条件AB=AC，DE=DF，可以得出：

DE

AB

=

DF

AC

，再由∠EDF=∠A可以得出结论．
（2）由（1）的结论可以得出：∠DEF=∠B=∠C．又有∠BED+∠DEF+∠FEC=∠C+∠CFE+∠FEC=180°，从而有∠BED=∠CFE．可以得出：△BDE∽△CEF．进而通过相似三角形的性质得出结论．

解答：证明：（1）∵AB=AC，DE=DF，
∴

DE

AB

=

DF

AC

，
∵∠EDF=∠A，
∴△DEF∽△ABC．

（2）∵△DEF∽△ABC．
∴∠DEF=∠B=∠C．
∵∠BED+∠DEF+∠FEC=∠C+∠CFE+∠FEC=180°，
∴∠BED=∠CFE．
∴△BDE∽△CEF．
∴

BD

CE

=

DE

EF

．
∵△DEF∽△ABC，
∴

DE

EF

=

AB

BC

．
∴

BD

CE

=

AB

BC

．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，相似三角形的判定方法有：
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．