Question

如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE丄AB，AE=2．求：
（1）∠ABC的度数；
（2）对角线AC，BD的长；
（3）菱形ABCD的面积．

Answer 1

考点：菱形的性质

专题：几何图形问题

分析：（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，然后求出△ABD是等边三角形，再根据等边三角形的每一个角都是60°解答；
（2）根据等边三角形的性质求出DE，进而得出AO以及AC的长；
（3）利用菱形的面积公式列式计算即可得解．

解答：解：（1）∵E为AB的中点，DE⊥AB，
∴AD=BD，
∵菱形ABCD中，AD=AB，
∴AD=AB=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∴∠ABC=120°；

（2）∵△ABD是等边三角形，AE=2，
∴AB=BD=AD=4，
∴DE=AO=

AD2-AE2

=

16-22

=2

3

，
∴AC=4

3

；

（3）菱形ABCD的面积=

1

2

BD•AC=

1

2

×4

3

×4=8

3

．

点评：本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等判断出AD=BD是解题的关键．