Question

15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的三边，交点分别是G、F、E点，GE，CD的交点为M，且ME=4$\sqrt{6}$，MD：CO=2：5．
（1）求证：∠GEF=∠A；
（2）求⊙O的直径CD的长．

Answer 1

分析 （1）连接DF，根据CD是圆直径，可知∠CFD=90°即DF⊥BC，DF∥AC，推出∠BDF=∠A，在⊙O中∠BDF=∠GEF，所以∠GEF=∠A；
（2）根据D是Rt△ABC斜边AB的中点，DC=DA，∠DCA=∠A，可证明△OME与△EMC相似，所以，ME²=OM×MC，结合MD：CO=2：5，OM：MD=3：2，OM：MC=3：8，设OM=3xMC=8x，可求x=2，则直径CD=10x=20．

解答 （1）证明：连接DF，
∵CD是圆直径∴∠CFD=90°即DF⊥BC，
∵∠ACB=90°，∴DF∥AC，
∴∠BDF=∠A，
∵在⊙O中∠BDF=∠GEF，∴∠GEF=∠A．

（2）解：∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，
∴DC=DA，
∴∠DCA=∠A，
又由（1）知∠GEF=∠A∴∠DCA=∠GEF，
又∵∠OME=∠EMC，
∴△OME∽△EMC相似，
∴$\frac{OM}{NE}$=$\frac{CM}{OM}$，
∴ME²=OM×MC，
又∵ME=4$\sqrt{6}$，
∴OM×MC=（4$\sqrt{6}$）²=96，
∵MD：CO=2：5，
∴OM：MD=3：2，
∴OM：MC=3：8，
设OM=3xMC=8x，
∴3x×8x=96，
∴x=2，
直径CD=10x=20．

点评 此题考查了平行线的判定与性质，圆周角定理，直角三角形斜边上的中线性质，相似三角形的判定与性质，比例的性质，利用了等量代换及方程的思想，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．