Question

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2．
（1）求直线AB的表达式；
（2）反比例函数y=$\frac{k_1}{x}$的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB时，求k₁的值；
（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=$\frac{k_2}{x}$的图象于点F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE时，请直接写出满足条件的所有k₂的值．

Answer 1

分析 （1）先通过解直角三角形求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（2）作DE∥OA，根据题意得出$\frac{DE}{OA}$=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{1}{3}$，求得DE，即D的横坐标，代入AB的解析式求得纵坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得k₁；
（3）根据勾股定理求得AB、OE，进一步求得BE，然后根据相似三角形的性质求得EF的长，从而求得FM的长，得出F的坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得k₂．

解答 解：（1）∵A（3，0）、B（0，m）（m＞0），
∴OA=3，OB=m，
∵tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=2，
∴m=6，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
代入A（3，0）、B（0，6）得：$\left\{\begin{array}{l}{0=3k+b}\\{6=b}\end{array}\right.$
解得：b=6，k=-2
∴直线AB的解析式为y=-2x+6；

（2）如图1，∵AD=2DB，
∴$\frac{DB}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
作DE∥OA，
∴$\frac{DE}{OA}$=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴DE=$\frac{1}{3}$OA=1，
∴D的横坐标为1，
代入y=-2x+6得，y=4，
∴D（1，4），
∴k₁=1×4=4；

（3）如图2，∵A（3，0），B（0，6），
∴E（$\frac{3}{2}$，3），AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵OE是Rt△OAB斜边上的中线，
∴OE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$，BE=$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$，
∵EM⊥x轴，
∴F的横坐标为$\frac{3}{2}$，
∵△OEF∽△OBE，
∴$\frac{EF}{BE}$=$\frac{OE}{OB}$，
∴$\frac{EF}{\frac{3}{2}\sqrt{5}}=\frac{\frac{3}{2}\sqrt{5}}{6}$，
∴EF=$\frac{15}{8}$，
∴FM=3-$\frac{15}{8}$=$\frac{9}{8}$．
∴F（$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{8}$），
∴k₂=$\frac{3}{2}$×$\frac{9}{8}$=$\frac{27}{16}$．

点评 本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的性质以及勾股定理的应用，求得关键点的坐标是解题的关键．