Question

7．如图，在?ABCD中，AM⊥BC于M，AN⊥CD于N．求证：AC•AM=MN•AB．

Answer 1

分析 先证明△ABC≌△ADC，从而得到S_△ABC=S_△ACD，然后利用面积法可得到$\frac{BC}{AB}=\frac{AN}{AM}$，然后证明∠MAN+∠MCN=180°，由∠B+∠BCD=180°可知∠B=∠MAN，依据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可知△ABC∽△MAN，最后依据相似三角形的性质可知AC•AM=MN•AB．

解答 证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，∠B+∠BCD=180°．
在△ABC和△ADC中$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{AC=AC}\\{BC=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC．
∴S_△ABC=S_△ACD．
∴$\frac{1}{2}BC•AM=\frac{1}{2}CD•AC$．
∴BC•AM=AB•AN．
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{AN}{AM}$．
∵AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，
∴∠MAN+∠MCN=180°．
又∵∠B+∠BCD=180°，
∴∠B=∠MAN．
∴△ABC∽△MAN．
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AM}{MN}$．
∴AC•AM=MN•AB．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质、全等三角形的性质和判定，证得△ABC∽△MAN是解题的关键．