Question

14．已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、DC上的点，且∠EAF=45°，自E、F分别作AC的垂线，垂足为P、Q，求证：AB²=AP•AQ．

Answer 1

分析 证得△ABE∽△AQF，得出$\frac{AB}{AQ}$=$\frac{AE}{AF}$，同理证得△AEP∽△AFD，得出$\frac{AE}{AF}$=$\frac{AP}{AD}$，代换整理求出结论即可．

解答 证明：如图，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，∠BAC=45°=∠1+∠2，
∵∠EAF=45°=∠2+∠3，
∴∠1=∠3，
∵FQ⊥AC，
∴∠AQF=∠B=90°，
∴△ABE∽△AQF，
∴$\frac{AB}{AQ}$=$\frac{AE}{AF}$，
同理可得：△AEP∽△AFD，
∴$\frac{AE}{AF}$=$\frac{AP}{AD}$，
∴$\frac{AB}{AQ}$=$\frac{AP}{AD}$，
∴AB²=AP•AQ．

点评 本题考查了正方形性质，相似三角形的性质和判定，掌握三角形相似的判定方法是解决问题的关键．