Question

如图所示，∠ABC=90°，AB=BC，AE是角平分线，CD⊥AE于D，可得CD=

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2

AE，请说明理由．

Answer 1

分析：如图所示，延长CD交AB的延长线于点F，这样利用了AD构造全等三角形△ACD和△AFD，找到CD=DF=

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2

CF，这样把问题转换成证明CF=AE，而要证明它们相等，通过证明△ABE≌△CBF得到．

解答：解：如答图所示，延长CD交AB的延长线于点F
∵AE平分∠CAB，
∴∠1=∠2
又∵AD⊥CF
∴∠ADC=∠ADF=90°
又∵AD=AD
∵在△ACD和△AFD中

∠1=∠2 AD=AD ∠ADC=∠ADF

，
∴△ACD≌△AFD（ASA）
∴CD=DF=

1

2

CF
∵∠ABC=90°
∴∠2+∠AEB=90°
又∵CD⊥AE于D，
∴∠CDE=90°
∴∠3+∠CED=90°
∵∠AEB=∠CED
∴∠3=∠2
在△ABE和△CBF中，
∵

∠ABE=∠CBF CB=AB ∠2=∠3

，
∴△ABE≌△CBF（ASA）
∴AE=CF
∴CD=

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2

AE

点评：此题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质；解题关键是如何利用角平分线，通常是通过作辅助线利用角平分线来构造全等三角形，从而把已知条件转化到全等三角形中，利用全等三角形的性质解决问题．