题目内容

计算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
1998×1999
．
分析：一般情况下，分数计算是先通分．但是本题通分计算将很繁，所以不通分，利用如下一个关系式：
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1

来把每一项拆成两项之差，然后再计算即可求出结果．
解答：解：∵
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
，
∴原式=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
1998
-
1
1999
，
=1-
1
1999
，
=
1998
1999
．
点评：此题主要考查了有理数的混合运算，本题解题关键是使用拆项法是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．
练习册系列答案
相关题目
观察下列各式：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
…
（1）根据以上式子填空：
①
1
8×9
=
 
；  ②
1
n×(n+1)
=
 
（n是正整数）
（2）根据以上式子及你所发现的规律计算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
…+
1
2007×2008
+
1
2008×2009
观察下列二次根式的运算：
1
1+
2
=-1+
2
1
2
+
3
=-
2
+
3
1
3
+
4
=-
3
+
4
…
1
2004
+
2005
=-
2004
+
2005
1
2005
+
2006
=-
2005
+
2006

请利用上面的规律计算：(
1
1+
2
+
1
2
+
3
+
1
3
+
4
+…+
1
2004
+
2005
+
1
2005
+
2006
)(1+
2006
)．
阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中常见的描述，其意是指两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”如：(2+
3
)(2-
3
)=1，2+
3
与2-
3
的积不含有根号，我们就说这两个式子互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是二次根式
2+
3
2-
3
可以这样解：
2+
3
2-
3
=
(2+
3
)(2+
3
)
(2-
3
)(2-
3
)
=
7+4
3
1
=7+4
3
，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：①4+
7
的有理化因式是
4-
7
4-
7

②计算：
1
2+
3
+
27
-6
1
3

③计算：
1
1+
2
+
1
2
+
3
+
1
3
+
4
+…
1
1999
+
2000
．
阅读以下材料：观察下列等式，找找规律
①
1
2
+1
=
2
-1
(
2
+1)(
2
-1)
=
2
-1
②
1
3
+
2
=
3
-
2
(
3
+
2
)(
3
-
2
)
=
3
-
2
；
③
1
4
+
3
=
4
-
3
(
4
+
3
)(
4
-
3
)
=
4
-
3

（1）化简：
1
2
3
+
11

（2）计算：
1
1+
2
+
1
2
+
3
+
1
3
+
4

（3）计算：
1
1+
2
+
1
2
+
3
+
1
3
+
4
+…+
1
n-1
+
n
（n≥2）
观察下列等式：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，将以上三个等式两边分别相加得：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
=1-
1
4
=
3
4

（1）猜想并写出：
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n
-
1
n+1
；
（2）计算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
．

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