Question

10．如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，若图中阴影部分的面积是16π，则AB的长为8．

Answer 1

分析 设AB与小圆切于点C，连结OC，OB，根据圆环（阴影）的面积=π•OB²-π•OC²=π（OB²-OC²）=16π，即可求解．

解答 解：如图所示：设AB与小圆切于点C，连结OC，OB．
∵AB与小圆切于点C，
∴OC⊥AB，
∴BC=AC=$\frac{1}{2}$AB．
∵圆环（阴影）的面积=π•OB²-π•OC²=π（OB²-OC²）=16π，
又∵直角△OBC中，OB²=OC²+BC²
∴圆环（阴影）的面积=π•OB²-π•OC²=π（OB²-OC²）=π•BC²=16π，
∴BC=4，故AB=2BC=8．
故答案为：8．

点评 此题考查了垂径定理，切线的性质以及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，注意到圆环（阴影）的面积=π•OB²-π•OC²=π（OB²-OC²），利用勾股定理把圆的半径之间的关系转化为直角三角形的边的关系．