Question

2．已知抛物线y=x²+bx+c的对称轴l交x轴于点A．
（1）若此抛物线经过点（1，2），当点A的坐标为（2，0）时，求此抛物线的解析式；
（2）抛物线y=x²+bx+c交y轴于点B，将该抛物线平移，使其经过点A，B，且与x轴交于另一点C，若b²=2c，b≤-1，设线段OB，OC的分别为m，n，试比较m与n+$\frac{3}{2}$的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法即可求得；
（2）先求得A、B点的坐标，然后设平移后的抛物线的解析式为y=（x+$\frac{b}{2}$+h）²+$\frac{{b}^{2}}{4}$+k，代入A、B的坐标，求得$\left\{\begin{array}{l}{h=\frac{b}{4}}\\{k=-\frac{5{b}^{2}}{16}}\end{array}\right.$，从而求得平移后的解析式为y=（x+$\frac{b}{2}$+$\frac{b}{4}$）²+$\frac{{b}^{2}}{4}$-$\frac{5{b}^{2}}{16}$=x²+$\frac{3}{2}$bx+$\frac{1}{2}$b²，然后求得C的坐标，即可求得m=-$\frac{b}{2}$，n=-b，即可判断m与n+$\frac{3}{2}$的大小．

解答 解：（1）根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=2}\\{-\frac{b}{2a}=2}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴此抛物线的解析式为y=x²-4x+5；
（2）由抛物线y=x²+bx+c交y轴于点B，对称轴l交x轴于点A．
∴B（0，c），A（-$\frac{b}{2}$，0），
∵b²=2c，
∴c=$\frac{{b}^{2}}{2}$
∴y=x²+bx+c=x²+bx+$\frac{{b}^{2}}{2}$=（x+$\frac{b}{2}$）²+$\frac{{b}^{2}}{4}$，
设平移后的抛物线的解析式为y=（x+$\frac{b}{2}$+h）²+$\frac{{b}^{2}}{4}$+k，
∵其经过点A，B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{b}^{2}}{2}=（\frac{b}{2}+h）^{2}+\frac{{b}^{2}}{4}+k}\\{0={h}^{2}+\frac{{b}^{2}}{4}+k}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{h=\frac{b}{4}}\\{k=-\frac{5{b}^{2}}{16}}\end{array}\right.$，
∴平移后的抛物线的解析式为y=（x+$\frac{b}{2}$+$\frac{b}{4}$）²+$\frac{{b}^{2}}{4}$-$\frac{5{b}^{2}}{16}$=x²+$\frac{3}{2}$bx+$\frac{1}{2}$b²，
令y=0，则x²+$\frac{3}{2}$bx+$\frac{1}{2}$b²=0，
解得x₁=-$\frac{b}{2}$，x₂=-b，
∴C（-b，0），
∴m=-$\frac{{b}^{2}}{2}$，n=-b，
∴n+$\frac{3}{2}$=-b+$\frac{3}{2}$，
∵b≤-1，
∴m＜n+$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数图象与几何变换，求得平移后的解析式是解题的关键．