如图1.ABCD为正方形.直线MN分别过AD边与BC边的中点.点P为直线MN上任意一点.连接PB.PC分别与AD边交于E.F两点.PC与BD交于点K.连接AK与PB交于点G．●探索发现当点P落在AD边上时.如图2.试探究PB与AK的位置关系以及PB.PK.AK三者的数量关系,●延伸拓展当点P落在正方形外.如图1.以上两个结论是否仍然成立?如果成立请给出证明.如� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．如图1，ABCD为正方形，直线MN分别过AD边与BC边的中点，点P为直线MN上任意一点，连接PB、PC分别与AD边交于E、F两点，PC与BD交于点K，连接AK与PB交于点G．
●探索发现  当点P落在AD边上时，如图2，试探究PB与AK的位置关系以及PB、PK、AK三者的数量关系（直接写出无需证明）；
●延伸拓展  当点P落在正方形外，如图1，以上两个结论是否仍然成立？如果成立请给出证明，如果不成立请说明你的理由；
●应用推广  如图3，在等腰Rt△ABD中，其中∠BAD=90°，腰长为3，M、N分别为AD边与BD边的中点，K为线段DN中点，F为AD边上靠近于D的三等分点．连接KF并延长与直线MN交于点P，连接PB分别与AD、AK交于点E、G．试求四边形EFKG的周长及面积．

分析 ●探索发现 PB⊥AK，PB=PK+AK，只要证明∠3=∠4=90°即可证明PB⊥AK，由△ABK≌△CBK，结合PB=PC即可解决问题．
●延伸拓展以上两个结论仍然成立，证明方法类似上面．
●应用推广如图3中，过点B作AD的平行线交PK延长线与点C，连接CD，利用上面结论结合条件即可解决问题．

解答解：●探索发现 PB⊥AK，PB=PK+AK；
理由：如图2中，

∵点P在MN上，根据对称性易得∠PBC=∠2且PB=PC，
又∠ABK=∠CBK=45°，
在△BKA和△BKC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠BKA=∠BKC}\\{BK=BK}\end{array}\right.$
∴△ABK≌△CBK，
∴∠2=∠3且AK=CK，
∴∠PBC=∠3．
又∠PBC+∠4=90°，
∴∠3+∠4=90°，
即PB⊥AK．
∴PB=PC=PK+CK=PK+AK．

●延伸拓展以上两个结论仍然成立，
理由如下：如图1中，

∵点P在MN上，根据对称性易得∠PBC=∠2且PB=PC，
又∠ABK=∠CBK=45°，
在△BKA和△BKC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠BKA=∠BKC}\\{BK=BK}\end{array}\right.$
∴△ABK≌△CBK，
∴∠2=∠3且AK=CK，
∴∠PBC=∠3．
又∠PBC+∠4=90°，
∴∠3+∠4=90°，
即PB⊥AK．
∴PB=PC=PK+CK=PK+AK．

●应用推广
如图3中，过点B作AD的平行线交PK延长线与点C，连接CD．

∵FD∥BD，
∴△FDK∽△CBK．
又DK：BK=1：3，
∴FD：BC=1：3．
∵FD：AD=1：3，
∴BC=AD．
∵BC∥AD且AB⊥AD且AB=AD，
∴四边形ABCD为正方形．
∵PB=PK+AK，
即（PE+BE）=（PF+FK）+AK，又PE=PF，
∴BE=FK+AK．
在Rt△EAB中，∵AE=1，AB=3，
∴BE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
∵AG⊥BE（上一问结论），
∵Rt△AGE∽Rt△BGA，且相似比为1：3，
设EG=t，AG=3t，BG=9t，
∴BE=10t=$\sqrt{10}$，
∴$t=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．
∴四边形EFKG的周长=EF+FK+GK+EG=EF+（FK+AK）-AG+EG
=EF+BE-AG+EG=1+10t-3t+t=1+8t=$1+\frac{4}{5}\sqrt{10}$．
过点K作AD垂线，垂足为H，
∵HK∥AB且DK：DB=1：4，
∴KH=$\frac{1}{4}$AB=$\frac{3}{4}$，
∴S_{四边形EFGH}=S_△AFK-S_△AEG=$\frac{1}{2}$•AF•KH-$\frac{1}{2}$•AG•EG=$\frac{1}{2}$•2•$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$•3t•t=$\frac{3}{5}$．