Question

如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于E，若AE=2，BE=6，∠CEA=30°，则CD的长为

2

15

；C点到AB的距离与D点到AB距离的比为

3- 5

2

．

Answer 1

分析：连接OD，作OF⊥DE于F，根据已知条件可得圆的半径是4，从而得到OE=2，再根据30°所对的直角边等于斜边的一半得到OF=1，然后在Rt△DOF中，利用勾股定理求出DF的长度，即可得到CD的长度；
过点D作DH⊥AB于H，过点C作CG⊥AB于G，先求出EF的长度，然后表示出CE、DE，根据相似三角形对应边成比例列式再分母有理化即可得解．

解答：解：（1）连接OD，作OF⊥DE于F，
∵AE=2，BE=6，
∴AB=2+6=8，
∴圆的半径是4，
∴OE=4-2=2，
∵∠CEA=30°，
∴OF=

1

2

OE=1，
在Rt△DOF中，DF=

OD2-OF2

=

42-12

=

15

，
∴CD=2DF=2

15

；

（2）过点D作DH⊥AB于H，过点C作CG⊥AB于G，
在Rt△OEF中，EF=

OE2-OF2

=

22-12

=

3

，
∵CG⊥AB，DH⊥AB，
∴∠CGE=∠DHE=90°，
又∠CEG=∠DEH，
∴△CGE∽△DEH，
∴

CG

DH

=

CE

DE

，
即

CG

DH

=

15 - 3

15 + 3

=

( 15 - 3 )( 15 - 3 )

( 15 + 3 )( 15 - 3 )

=

3- 5

2

．
故答案为：

3- 5

2

．

点评：本题考查了圆周角定理，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，相似三角形对应边成比例，垂径定理，读懂题意，看明白图形是解题的关键．