Question

12．【定义】如图1，在四边形ABCD中，点E在边BC上（不与点B，C重合），连接AE，DE，
四边形ABCD分成三个三角形：△ABE，△AED和△ECD，如果其中有△ABE与△ECD相似，我们就把点E叫做四边形ABCD在边BC上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD在边BC上的完美相似点．
【解决问题】如图2，在平面直角坐标系中，过点A（6，0）作x轴的垂线交二次函数y=$\frac{1}{2}$x²-2x-4的图象于点B．
（1）写出点B的坐标；
（2）点P是线段OA上的一个动点（不与点O，A重合），PC⊥PB交y轴于点C．求证：点P是四边形ABCO在边OA 上的相似点；
（3）在四边形ABCO中，当点P是OA边上的完美相似点时，写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先确定出点B的横坐标，代入二次函数解析式中，求出点B的纵坐标，即可；
（2）用两角相等的两三角形相似即可；
（3）①由△OCP∽△APB和△ABP∽△PCB，得到两个方程求解，②由△OCP∽△APB和△ABP∽△PBC，得到两个方程求解．

解答 解：（1）∵过点A（6，0）作x轴的垂线交二次函数y=$\frac{1}{2}$x²-2x-4的图象于点B，
∴把x=6代入二次函数解析式中，得y=$\frac{1}{2}$×6²-2×6-4=2，
∴B点的坐标为（6，2）．
（2）由题意得，∠BAP=∠COP=90°．
∵PC⊥PB，
∴∠BPC=90°．
∴∠CPO+∠APB=90°．
∵∠CPO+∠OCP=90°，
∴∠OCP=∠APB．
∴△OCP∽△APB．
∴由定义可得，点P是四边形ABCO在边OA 上的相似点．
（3）设点P（m，0），C（0，a）
∵A（6，0），B（6，2），
∴AP=6-m，OP=m，AB=2，OC=a，PC=$\sqrt{{m}^{2}+{a}^{2}}$，PB=$\sqrt{（m-6）^{2}+4}$，
由（2）有，△OCP∽△APB，
∴$\frac{OC}{AP}=\frac{OP}{AB}=\frac{CP}{PB}$，
∴$\frac{a}{6-m}=\frac{m}{2}$①，
①当△ABP∽△PCB时，
∴$\frac{AP}{PB}=\frac{AB}{PC}$，
∴$\frac{6-m}{\sqrt{（m-6）^{2}+4}}=\frac{2}{\sqrt{{m}^{2}+{a}^{2}}}$②
联立①②得，a=2或a=-2（舍），
当a=2时，$\frac{2}{6-m}=\frac{m}{2}$，
∴m=3±$\sqrt{5}$，
∴P（3+$\sqrt{5}$，0）或P（3-$\sqrt{5}$，0），
②当△ABP∽△PBC时，
∴$\frac{AB}{PB}=\frac{AP}{PC}$，
∴$\frac{2}{\sqrt{（m-6）+4}}=\frac{6-m}{\sqrt{{m}^{2}+{a}^{2}}}$③，
联立①③得，m²=2a，
由①得到，m（6-m）=2a=m²
∴m=3或m=0（舍）
∴P（3，0）．
即：点P的坐标为（3，0），（3+$\sqrt{5}$，0），（3-$\sqrt{5}$，0）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质和判定，新定义，解本题的关键是理解新定义，难点是求点P的坐标．