Question

2．数学课上，王老师出示问题：如图1，将边长为5的正方形纸片ABCD折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．
（1）观察操作结果，在图1中找到一个与△DEP相似的三角形，并证明你的结论；
（2）当点P在边CD的什么位置时，△DEP与△CPG面积的比是9：25？请写出求解过程；
（3）将正方形换成正三角形，如图2，将边长为5的正三角形纸片ABC折叠，使顶点A落在边BC上的点P处（点P与B、C不重合），折痕为EF，当点P在边BC的什么位置时，△BEP与△CPF面积的比是9：25？请写出求解过程．

Answer 1

分析 （1）根据∠DEP=∠GPC，∠D=∠C=90°，判定△DEP∽△CPG即可；
（2）根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，可得DP：GC=3：5，再设PD=3x，得出CG=5x，PC=5-3x，DE=$\frac{3}{5}$PC=3-$\frac{9}{5}$x，EP=2+$\frac{9}{5}$x，最后在Rt△DEP中，根据勾股定理，列出关于x的方程进行求解即可；
（3）根据两角对应相等，判定△BEP∽△CPF，再设EP=3x，FP=5x，得出FC=5-5x，EB=5-3x，BP=$\frac{3}{5}$CF=3-3x，PC=2+3x，最后根据相似三角形对应边成比例，列出方程求解即可．

解答 解：（1）△DEP∽△CPG．
∵∠EPG=90°，
∴∠EPD+∠GPC=90°，∠EPD+∠DEP=90°，
∴∠DEP=∠GPC，
∵∠D=∠C=90°，
∴△DEP∽△CPG；

（2）∵△DEP∽△CPG，
∴S_△DEP：S_△CPG=9：25，
∴DP：GC=3：5，
设PD=3x，则CG=5x，PC=5-3x，DE=$\frac{3}{5}$PC=3-$\frac{9}{5}$x，
∴EP=2+$\frac{9}{5}$x，
∴Rt△DEP中，（3-$\frac{9}{5}$x）²+（3x）²=（2+$\frac{9}{5}$x）²，
解得x₁=$\frac{5}{3}$（舍去），x₂=$\frac{1}{3}$，
∴DP=3x=1，
即当DP=1时，△DEP与△CPG面积的比是9：25；

（3）由题可得，∠B=∠C=∠EPF=60°，
∴∠BEP+∠BPE=∠CPF+∠BPE=120°，
∴∠BEP=∠CPF，
∴△BEP∽△CPF，
设EP=3x，FP=5x，则FC=5-5x，EB=5-3x，BP=$\frac{3}{5}$CF=3-3x，
∴PC=2+3x，
∴$\frac{EB}{PC}$=$\frac{5-3x}{2+3x}$=$\frac{3}{5}$，
解得x=$\frac{19}{24}$，
∴PC=2+3x=$\frac{35}{8}$．
即当PC=$\frac{35}{8}$时，△BEP与△CPF面积的比是9：25．

点评 本题主要考查了相似三角形的综合应用，解题时注意：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．解决问题的关键是运用方程思想进行求解．