Question

13．如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当点P运动到点$（\sqrt{3}，0）$时，求此时DP的长及点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）如图1，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F，根据题意得到BF=OE=2，利用等边三角形的性质进而求出OF的长，确定出B的坐标，设直线AB解析式为y=kx+b，把A与B坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线AB解析式；
（2）由△ABD由△AOP旋转得到，利用旋转的性质得到两三角形全等，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到AP=AD，∠DAB=∠PAO，进而得到三角形ADP为等腰直角三角形，求出AP的长，即为等边三角形的边长，如图1，过点D作DH⊥x轴于点H，延长EB交DH于点G，可得BG⊥DH，在直角三角形BDG中，求出BG与DG的长，进而确定出OH与DH的长，确定出D坐标即可．

解答 解：（1）如图1，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F，
由已知得：BF=OE=2，OF=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴点B的坐标是（2$\sqrt{3}$，2），
设直线AB的解析式是y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{2\sqrt{3}k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式是y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+4；
（2）∵△ABD由△AOP旋转得到，
∴△ABD≌△AOP，
∴AP=AD，∠DAB=∠PAO，
∴∠DAP=∠BAO=60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴DP=AP=$\sqrt{{4}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{19}$，
如图1，过点D作DH⊥x轴于点H，延长EB交DH于点G，可得BG⊥DH，
在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°，BD=OP=$\sqrt{（\sqrt{19}）^{2}{-4}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴BG=BD•cos60°=$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，DG=BD•sin60°=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴OH=EG=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，DH=$\frac{7}{2}$，
∴点D的坐标为（$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，$\frac{7}{2}$）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．