Question

【题目】如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（4，0），B（﹣4，﹣4），且与y轴交于点C．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）证明：AO平分∠BAC；

（3）在二次函数对称轴上是否存在一点P使得AP＝BP？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）见解析；（3）存在．点P的坐标为（1，﹣4）；

【解析】

（1）将点A（4，0）与点B（4，4）代入函数解析式即可；

（2）求出直线AB的解析式，求出AB与y轴交点D（0，2），可得OC＝OD，再由AO⊥CD，可证AO平分∠BAC；

（3）二次函数的对称轴为直线x＝1，设点P的坐标为（1，m），AP2＝（41）2＋m2，BP2＝（1＋4）2＋（m4）2，当AP＝BP时，求出m＝4即可；

（1）∵点A（4，0）与点B（﹣4，4）在二次函数的图象上，

∴，

解得，

∴二次函数的解析式为y＝；

（2）设直线AB的解析式为y＝ax+n

则有，

解得，

故直线AB的解析式为y＝x﹣2，

设直线AB与y轴的交点为点D，

x＝0，

则y＝﹣2，

故点D为（0，﹣2），

由（1）可知点C为（0，2），

∴OC＝OD

又∵AO⊥CD，

∴AO平分∠BAC；

（3）存在．

∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣1）2++2，

∴二次函数的对称轴为直线x＝1，

设点P的坐标为（1，m），

AP2＝（4﹣1）2+m2，BP2＝（1+4）2+（m4）2，

当AP＝BP时，AP2＝BP2，

则有9+m2＝25+m2+16+8m，

解得m＝﹣4，

∴点P的坐标为（1，﹣4）；