Question

6．如图1和图2，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），A是x轴上的一个动点，M是线段AC的中点．把线段AM以A为旋转中心、按顺时针方向旋转90°得到AB．过B作x轴的垂线、过点C作y轴的垂线，两直线交于点D，直线DB交x轴于点E．设A点的横坐标为m．

（1）若m=3，则点B的坐标为（5，1.5）；若m=-3，则点B的坐标为（-1，-1.5）；
（2）若m＞0，△BCD的面积为S，则m为何值时，S=6？
（3）是否存在m，使得以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先由勾股定理求得线段AC的长，然后利用△AOC∽△BOA求得线段BE、AE的长，从而求得点B的坐标；
（2）分0＜m＜8时和m＞8时，利用△AOC∽△BEA，根据相似比表示出点B的坐标后，利用面积为6求得t值即可；
（3）分0＜m＜8、m＞8、-2＜m＜0、m＜-2，根据△AOC∽△CDB和△AOC∽△BDC两种情况得到比例式即可求得t值．

解答 解：（1）∵C的坐标为（0，4），m=3或-3，
∴由勾股定理得：AC=5，
∵△AOC∽△BEA且相似比为$\frac{AC}{AB}$=2，AO=3  OC=4
∴AE=2，BE=1.5
∴点B的坐标为（5，1.5）或（-1，-1.5  ），
故答案为：（5，1.5），（-1，-1.5  ）；       

（2）①当0＜m＜8时，如图（1）
△AOC∽△BEA且相似比为$\frac{AC}{AB}$，
求得点B的坐标为（m+2，$\frac{1}{2}$），
∴S=$\frac{1}{2}$DC•DB=$\frac{1}{2}$（m+2）×（4-$\frac{1}{2}$m）=6，
解得  m=2或4，
②当m＞8时，如图（2）
S=$\frac{1}{2}$DC•DB=$\frac{1}{2}$（m+2）×（$\frac{1}{2}$m-4）=6，
解得  m=10或m=-4（舍去）
∴m=2，m=4，m=10，

（3）①当0＜m＜8时，如图（1）
若△AOC∽△CDB
∴$\frac{AO}{CD}$=$\frac{CO}{BD}$即：$\frac{m}{m+2}$=$\frac{4}{4-\frac{1}{2}m}$
∴m无解，
若△AOC∽△BDC，同理，解得m=2$\sqrt{5}$-2或m=-2$\sqrt{5}$-2（不合题意舍去），
②当m＞8时，如图（2）
若△AOC∽△CDB，
∴$\frac{AO}{CD}$=$\frac{CO}{BD}$即：$\frac{m}{m+2}$=$\frac{4}{\frac{1}{2}m-4}$，
解得m=±4$\sqrt{5}$+8，取m=4$\sqrt{5}$+8，
若△AOC∽△BDC，同理，解得m无解，
③当-2＜m＜0时，如图（3），
若△AOC∽△CDB，
∴$\frac{AO}{CD}=\frac{CO}{BD}$即：$\frac{-m}{m+2}$=$\frac{4}{4-\frac{1}{2}m}$，
解得m=4$\sqrt{5}$+8（不合题意舍去）或m=-4$\sqrt{5}$+8，
若△AOC∽△BDC，同理，解得m无解，
④当m＜-2时，如图（4）
若△AOC∽△CDB，
∴$\frac{AO}{CD}=\frac{CO}{BD}$，即：$\frac{-m}{-m-2}$=$\frac{4}{4-\frac{1}{2}m}$，
则m无解，
若△AOC∽△BDC，同理，解得m=-2$\sqrt{5}$-2（不合题意舍去）或m=-2$\sqrt{5}$+2（不合题意舍去）；
则m=2$\sqrt{5}$-2，m=4$\sqrt{5}$+8，m=-4$\sqrt{5}$+8．

点评 本题考查了相似形的综合题，比较繁琐，难度很大，解答此题的关键是画出图形作出辅助线，结合相似三角形的性质利用比例式列出方程解答．体现了数形结合在解题中的重要作用．