Question

7．如图，抛物线与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（4，0）与y轴交于点C（0，4），点P为抛物线上的一个动点．
（1）抛物线的解析式，在平面直角坐标系中画出它的图象；
（2）若∠APB=90°，求P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据描点法，可得答案．
（2）根据勾股定理，可得AP²，PB²，再根据勾股定理的逆定理，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，将A，B，C代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-5}\\{c=4}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=x²-5x+4，
如图，

（2）设P（m，m²-5m+4），
AP²=（m-1）²+（m²-5m+4）²，BP²=（m-4）²+（m²-5m+4），
由勾股定理逆定理，得AP²+PB²=AB²，
即（m-1）²+（m²-5m+4）²+（m-4）²+（m²-5m+4）=（4-1）²，
化简，得
（m²-5m+4）+（m²-5m+4）²=0，
（m²-5m+4）（m²-5m+5）=0，
因式分解，得
（m-1）（m-4）（m-$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$）（m-$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$）=0，
于是m₁=1（舍），m₂=4（舍），m₃=$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$，m₄=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，
P（$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$，-1）P（$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，-1）．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是勾股定理及勾股定理的逆定理．