Question

8．如图，正方形ABCD的边长是2，其面积记为S₁，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S₂…按此规律继续下去，则S₂₀₁₆的值为（$\frac{1}{2}$）²⁰¹³．

Answer 1

分析 根据题意可知第2个正方形的边长是$\frac{\sqrt{2}}{2}×2$，则第3个正方形的边长是$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}×2$，…，进而可找出规律，第n个正方形的边长是$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{n-1}×2$，那么易求S₂₀₁₆的值．

解答 解：根据题意：第一个正方形的边长为2；
第二个正方形的边长为：$\frac{\sqrt{2}}{2}×2$；
第三个正方形的边长为：$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}×2$，…
第n个正方形的边长是$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{n-1}×2$，
所以S₂₀₁₆的值是（$\frac{1}{2}$）²⁰¹³
故答案为（$\frac{1}{2}$）²⁰¹³

点评 本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．解题的关键是找出第n个正方形的边长．