题目内容
△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2cm．长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）．过M、N分别作AB的垂线交直角边于P、Q两点，线段MN运动的时间为ts．（1）线段MN运动过程中，t为何值时，四边形MNQP为矩形？
（2）t为何值时，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
（3）若△AMP的面积为y，写出y与t的函数关系式（写出自变量t的取值范围）
分析：（1）当PM=QN时，四边形MNQP为矩形，建立含t的方程，求得t的值；
（2）以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况，△PQC∽△ABC时和△QPC∽△ABC，分别相似三角形的判定和性质，求得相对应的t的值；
（3）分两种情况，点P可以在AC上时和当点P在BC上时，利用三角函数分别用含t的代数式表示出PM，AM，再用S△APM=
AM•PM得出y与t的函数关系式．
（2）以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况，△PQC∽△ABC时和△QPC∽△ABC，分别相似三角形的判定和性质，求得相对应的t的值；
（3）分两种情况，点P可以在AC上时和当点P在BC上时，利用三角函数分别用含t的代数式表示出PM，AM，再用S△APM=
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）∵AC=2，
∴AB=4，
∴BN=AB-AM-MN=4-t-1=3-t，
∴QN=BN•tan30°=
（3-t），
由条件知，若四边形MNQP为矩形，需PM=QN，即
t=
（3-t），
∴t=
，
∴当t=
s时，四边形MNQP为矩形；
（2）由（1）知，当t=
s时，四边形MNQP为矩形，此时PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC，
除此之外，当∠CPQ=∠B=30°时，△QPC∽△ABC，此时
=tan30°=
，
∵
=cos60°=
，
∴AP=2AM=2t，
∴CP=2-2t，
=cos30°=
，
∴BQ=
=
（3-t），
又∵BC=2
，
∴CQ=2
-
（3-t）=
t，
∴
=
，
∴t=
，
∴当t=
s或
s时以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似；
（3）当点P在AC上时，∵AM=t，
∴PM=AM•tan60°=
t，
∴y=
t•
t=
t2（0≤t≤1）．
当点P在BC上时，PM=BM•tan30°=
（4-t），
∴y=
t•
（4-t）=-
t2+
t（1≤t≤3）．
∴AB=4，
∴BN=AB-AM-MN=4-t-1=3-t，
∴QN=BN•tan30°=
| ||
| 3 |
由条件知，若四边形MNQP为矩形，需PM=QN，即
| 3 |
| ||
| 3 |
∴t=
| 3 |
| 4 |
∴当t=
| 3 |
| 4 |
（2）由（1）知，当t=
| 3 |
| 4 |
∴△PQC∽△ABC，
除此之外，当∠CPQ=∠B=30°时，△QPC∽△ABC，此时
| CQ |
| CP |
| ||
| 3 |
∵
| AM |
| AP |
| 1 |
| 2 |
∴AP=2AM=2t，
∴CP=2-2t，
| BN |
| BQ |
| ||
| 2 |
∴BQ=
| BN | ||||
|
2
| ||
| 3 |
又∵BC=2
| 3 |
∴CQ=2
| 3 |
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
∴
| ||||
| 2-2t |
| ||
| 3 |
∴t=
| 1 |
| 2 |
∴当t=
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
（3）当点P在AC上时，∵AM=t，
∴PM=AM•tan60°=
| 3 |
∴y=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| ||
| 2 |
当点P在BC上时，PM=BM•tan30°=
| ||
| 3 |
∴y=
| 1 |
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| ||
| 3 |
| ||
| 6 |
2
| ||
| 3 |
点评：本题利用了锐角三角函数的概念，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的面积公式求解，运用了数形结合的思想来解决图形变化的问题，题目的综合性不小，计算量也很大．
练习册系列答案
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如图，在△ABC中，AC=2，AB=3，D是AC上一点，E是AB上一点，且∠ADE=∠B，设AD=x，AE=y，则y与x之间的函数关系式是（ ）A、y=
| ||
B、y=
| ||
C、y=
| ||
D、y=
|
如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，BC=7，点D在AC上，AD=2，