Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，∠BAD=120°，AB=AD．
（1）求证：四边形ABCD是等腰梯形；
（2）已知AC=6，求阴影部分的面积．

Answer 1

考点：扇形面积的计算,等腰梯形的判定

专题：

分析：（1）根据题意得出AB=CD且∠CAD=∠ACB=30°，进而得出BC∥AD，即可得出答案；
（2）利用S_阴影=S_扇形BOD-S_△BOD，进而求出即可．

解答：（1）证明：∵∠BAD=120°，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=30°，
∴弧AB和弧AD的度数都等于60°，
又∵BC是直径，
∴弧CD的度数也是60°，
∴AB=CD且∠CAD=∠ACB=30°，
∴BC∥AD，
∴四边形ABCD是等腰梯形；

（2）解：∵BC是直径，
∴∠BAC=90°
∵∠ACB=30°，AC=6，
∴BC=

AC

cos30°

=

6

3 2

=4

3

，故R=2

3

，
∵弧AB和弧AD的度数都等于60°，
∴∠BOD=120°，
连接OA交BD于点E，则OA⊥BD，
在Rt△BOE中：OE=OBsin30°=

3

，BE=OB•cos30°=3，BD=2BE=6，
故S_阴影=S_扇形BOD-S_△BOD=

120×π×(2 3 )2

360

-

1

2

×6×

3

=4π-3

3

．

点评：此题主要考查了扇形面积求法以及等腰梯形的判定等知识，得出半径长是解题关键．