Question

4．矩形ABCD中，E是AB上的四分之一点，F是DE上的三分之一点．求S_{四边形EBCF}与S_矩形ABCD的比值．

Answer 1

分析 过F作FM⊥CD于点M，过E作EN⊥CD于点N，令AB=CD=a，BC=AD=b，用梯形EBCD的面积减去三角形CDF的面积来求出四边形EBCF的面积，即可得出结论．

解答 解：过F作FM⊥CD于点M，过E作EN⊥CD于点N，如图，

令AB=CD=a，BC=AD=b，
∵E是AB上的四分之一点，
∴BE=$\frac{1}{4}$AB=$\frac{1}{4}$a，
∵FM⊥CD，EN⊥CD，
∴FM∥EN，
∴△DFM∽△DEN，
∴$\frac{FM}{EN}$=$\frac{DF}{FE}$=$\frac{1}{3}$，
∵EN=BC=b，
∴FM=$\frac{1}{3}$b，
S_{四边形EBCF}=$\frac{1}{2}$（BE+CD）•BC-$\frac{1}{2}$CD•FM=$\frac{5}{8}$ab-$\frac{1}{6}$ab=$\frac{11}{24}$ab，
S_矩形ABCD=ab，
∴$\frac{{S}_{四边形EBCF}}{{S}_{矩形ABCD}}$=$\frac{11}{24}$．

点评 本题考查了梯形的性质、梯形的面积公式、三角形面积公式以及相似三角形的性质，解题的关键是画出图形，利用数形结合来解决问题．